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【复习与检测】杨灵君|基于想象与思辨的平面图形复习策略

2023/7/6 14:17:04  阅读:76 发布者:

平面图形是“图形与几何”领域的一个板块。在平常复习教学中,因这块内容比较基础、简单,教师很容易忽视其概念的内化、关联和沟通,进行简单机械的训练,导致复习教学枯燥无味,缺乏空间想象和思维挑战。如果在平面图形的复习教学中加入恰当的想象与思辨,就会改变以上复习中的不足,使复习过程能更好地达到思维训练的效果。

一、紧扣本质属性想象,让概念在思辨中明晰

正确理解和建构图形概念是学生学好几何图形的重要基础。在平面图形的复习教学时,教师如果只采用逐个阐述它们各自的本质属性,随后进行相关练习,学生一定会感到枯燥无味,并且对图形与图形概念之间的内涵与外延,无法产生联系。如果我们能从整体构建角度去创设想象素材,并能让学生在开放性的想象与思辨过程中去完善图形概念的认识,这样会达到较好的教学效果。

比如,我们在复习“平行四边形和梯形”概念时,教师出示一个四边形(如图1)。

创设问题情境:“这是一个什么图形?你能在这个四边形中剪一刀或者两刀变成一个平行四边形或者一个梯形吗?请将你的剪法用线表示出来。”

随后,要求学生画一画并分别写一写怎样的图形是平行四边形,怎样的图是梯形。

学生独立完成后,教师收集学生作品,组织学生围绕以下两个问题进行质疑和思辨:

⑴ 这些同学画出的平行四边形和梯形对吗?为什么?

⑵ 在表述怎样的四边形是平行四边形和梯形时,你觉得哪些词最重要?

这样教学,引发学生在思辨中逐步完善和梳理平行四边形和梯形的概念、特征和各部分名称。接着,教师继续引发学生想象:“在这个四边形中还能创造出不同的平行四边形和梯形吗?”顿时,学生思维大门瞬间打开,涌现出如图2、图3等方法。

通过思辨,最后形成结论:只要以四边形的一条边为底找到它的平行线,再找另一条边的平行线,也就是画两条线,即可画出平行四边形,如图2的四种情况;只要以四边形的一条边为底找到它的平行线,画一条线,就可以画出一个梯形,如图3的四种情况。

教师又针对图3中第一个梯形向学生提出:你能否在此图的基础上继续剪一刀,剪出等腰梯形或直角梯形?

显然,在这样的想象和创作过程中,也自然而然地梳理了等腰梯形、直角梯形和一般梯形等不同类型。

可见,在这样一个极富挑战和开放的复习思辨材料中,学生可以依据自已对平行四边形和梯形的原有理解,大胆地创造出众多的平行四边形和梯形,再通过辨析交流,不但进一步明确了平行四边形和梯形概念的本质属性,而且激发了他们多角度思考问题的意识和求异思维的能力。同时,在梳理过程中进一步明晰了四边形、平行四边形和梯形概念间的联系和区别。

二、依据部分特征想象,让关系在思辨中构建

对于平面图形关系的认识,我们还可以从以下两个方面帮助学生理解和建构。一是对图形自身特征的认识,包括对图形各元素之间关系的认识,如平行四边形两组对边分别平行且相等;二是图形与图形之间关系的认识,如正方形是特殊的长方形,长方形是特殊的平行四边形等。在图形复习教学中,我们可以通过抓住某一相同特征进行大胆想象,顺藤摸瓜,然后在思辨交流中自主感悟而建构网络关系。

例如,在复习四边形之间的关系时,教师可以先出示一组互相垂直的线,引发学生思考:一个四边形的两条边正好在这两条互相垂直的线上,请你想象一下这个四边形可能是怎样的?有几种情况?请把它画出来,并涂上阴影。

通过学生的大胆想象和思辨交流,一连串符合要求的四边形倾巢而出(如图4)。

教师接着引导:你们想到了长方形、正方形,它们是特殊的平行四边形,那为什么没有想到一般的平行四边形呢?让学生在继续质疑思辨中感悟到:有一个角是直角的平行四边形就是长方形或正方形。而且使学生观察所想象到的四边形中至少有一个角是直角,从而可以进一步引发学生思辨:在这里画出的梯形一定是什么梯形?只有一个直角的四边形为什么一定不是平行四边形或梯形?

随后,教师出示一组平行线,继续引导学生想象:如果平行四边形有两条边正好在这组平行线上,你能想象出这样的平行四边形吗?请把它画出来,涂上阴影。通过想象和交流后会出现各种平行四边形。这样不仅再次巩固平行四边形概念,还能再次从一般到特殊去感悟平行四边形、长方形和正方形之间的关系。

最后,教师让学生用自己的方法表达这些四边形之间的关系。此时已经水到渠成,他们对这些图形之间的关系都有自己个性化的表达(如图5 )。

我们不难看出:利用一组互相垂直的线去想象画出四边形,是从角和边两个维度进行综合的思考;利用一组平行线画平行四边形则是从边的维度来思考。通过这样两次不同角度的想象思辨,不仅使得复习材料颇具多样性,而且非常有效地助推学生自主建构各种四边形之间的联系和区别,促进所学知识结构化。

三、借助某一条件想象,让计算在思辨中见证

在图形的度量与计算复习教学中,也可以加入一定的想象和思辨,助力培养学生空间观念、几何直观和数学推理能力。

在进行平面图形面积复习时,我们就可以创设这样的想象素材:如果已知一个图形中一条线段的长度是6cm,就能计算出它的面积,你能想象出这是一个怎样的平面图形吗?请在格子纸上画一画,并计算它的面积(注:格子的每一小方格边长为1cm)。

学生很快地会想到边长6cm的正方形、直径6cm或半径6cm的圆。接着,教师继续引发学生想象:除了这些图形,你还能想象出其他图形吗?让学生再一次展开想象,他们想到了对角线是6cm的正方形,边长是6cm的正三角形,还想到了一些组合图形(如图6)。

这些图形是不是都符合要求呢?可以先引导学生通过计算来验证,再组织集体交流思辨。发现第1个正方形可以看成2个三角形,也可以看成4个直角三角形;第3幅图用正方形面积减去圆的面积;第4幅图用圆的面积减去正方形面积;第5幅图可以用大圆面积一半减去小圆面积,而第2幅图不知道三角形的高,根据现有知识储备还不能解决,教师可以根据实情进行灵活把握。

这样的训练形式,不仅使学生自己设计出了图形面积的计算,而且给学生创设了很强的探究和思辨空间。

四、跨越不同维度想象,让认知在思辨中关联

在平面图形的度量和计算复习教学中,有必要让学生经历和跨越不同维度进行想象和思辨,以激活学生对平面图形灵活而深刻的认知,更好建立起图形之间的关联。

“平面图形的周长和面积”复习时,教师出示长方形、正方形、三角形、梯形和圆,向学生提出:这些图形中有已知周长就能求出面积的吗?有几个?学生会想到正方形和圆。教师随即提出:已知一个正方形的周长是24cm,一个圆的周长是25.12cm,你能分别求出它们的面积吗?通过交流得出:求正方形的面积先根据正方形的周长计算出其边长,再计算正方形的面积;计算圆面积先根扰圆的周长计算出其半径,再计算圆的面积。

接着,教师组织学生开展如下三个层次的想象与思辨。

层次一:利用周长求面积。

你会求图中阴影部分的面积吗?

然后,引导学生先找出图形之间的联系,再解决问题。

层次二:创编条件求面积。

如果告诉你一个长方形的周长是60cm,你能求出它的面积吗?

学生通过思考后发现长和宽的关系不明,无法求面积。怎么办呢?教师再引发学生思考:如果允许添加一个条件,添加什么条件就能求出这个长方形的面积呢?

这个问题非常开放,答案不唯一,可以是图8中列举的,也可以是其他的条件。尽管如此,通过思辨和交流,学生发现了解决问题的精髓:如果知道了长就先求宽,如果知道了宽就先求长,只要理清长和宽的关系就能如愿求出长方形的面积。

层次三:依据想象悟面积。

如果题目叙述中没有给出“长是宽的2倍”这个条件,而是在长方形中画图,你能用图表示这个意思吗?请将它画出来。

通过想象可得出如图9,然后通过计算来思辨求证。在这一计算过程中,学生不难发现这两幅图中阴影部分面积是相等的。因此,教师随机追问:为什么它们的面积会相等呢?你还能想象出像这样面积相等的组合图形吗?一石激起千层浪,学生的思维又开始发散……

至此,我们会发现:从图形的周长想面积或从面积想周长,但可以灵活地掌握所学知识,碰出更多灵动的思维火花,而且能深刻地体验到不同维度之间的相互关联。

(作者单位:浙江临海市回浦实验小学)

声明:本文刊发于《小学教学》数学版2021年第5

转自:“小学教学”微信公众号

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