带给儿童理性思维的启蒙——《平行四边形的认识》教学实践与思考

长沙高新区小学数学教育研究工作室

“平行四边形的认识”是人教版四年级上册的内容。在此之前，学生已经在一年级下册初步认识过平面图形，其中就有平行四边形。一年级只要求学生能从整体上辨认图形，四年级则要求通过研究发现平行四边形的特征。与认识长方形和正方形不同，在认识平行四边形时，教材第一次明确给出了图形的定义。那么，我们在研读教材时，就应该认真思考——为什么要给出平行四边形的定义？给出这个定义有什么作用？在教学中我们又该怎么给出这个定义？

在笔者看来，教材给出定义是进一步认识平行四边形所必要的。要研究平行四边形有什么特征，就必须先找一些平行四边形来。而相较于长方形和正方形，平行四边形显然变式的情况要复杂些。一年级学生是凭借感官来辨认是否是平行四边形，即是根据“像不像”来判断的。而“像不像”取决于个体不同的主观感受，无法形成定论。到了四年级，要进一步研究特征就不能满足于“像不像”了，而是要确定“是不是”，我们只能拿确定是平行四边形的图形来进一步研究特征。这就需要给平行四边形一个“明确的说法”——即给平行四边形下定义。一旦有了定义，就无须再争论“像不像”，依定义判断即可。也正是由给出定义开始，儿童对图形的认识将逐渐从感性走向理性。

在以往的教学中，教学“平行四边形的认识”往往会遇到一些比较尴尬的问题。一是给出平行四边形，让学生研究平行四边形的边有什么特点，有学生发现对边平行之后，教师要求学生加以检验。这里存在的问题是——在此之前是如何认定平行四边形的？既然已认定是平行四边形，再来检验对边是否平行，岂不是迂回曲折让人莫名其妙？正如以下的教学片段——

师：下面哪些是平行四边形？（出示各种不同的四边形，图略）

师：你是怎么判断的？

生：因为这几个四边形它们的两组对边都平行，其他的只有一组对边平行，或者是两组对边都不平行。

师：很好。两组对边都平行的这些就是平行四边形。

……

师：研究一下，平行四边形的边有什么特点？

生：对边平行/对边相等。

师：对边真的平行吗？你是怎么发现的？

……

前面肯定两组对边都平行的四边形就是平行四边形，后面研究特点时又要来验证对边是否真的平行，这不是自相矛盾么？

二是在发现平行四边形的特征之后，再来抽象概括平行四边形的定义，为什么只说“两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形”，而不提“两组对边相等”以及“对角相等”的特征？学生会产生这样的疑问，教师自觉无法给出清楚明白的解释，只能一句带过，正如以下教学片段——

师：通过研究，我们发现平行四边形有些什么共同特点？

生：平行四边形的对边相等，对角也相等，两组对边分别平行。

师：所以，我们把两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。

这个“所以”是来得相当牵强的——因为平行四边形有这些特点，所以才把有这个特点的图形叫做平行四边形，这在逻辑上是否有“循环论证”的毛病？

基于以上现象与思考，我们对“平行四边形的认识”一课做出了新的尝试。重在引导学生体会给出“平行四边形”定义的价值，以此带给儿童理性思维的启蒙。具体做法如下。

一、借助已有经验，有意义地接受“平行四边形”的定义。

我们认为，当教师的教学路径是自然的，学生学会也就是自然而然的事了。因此，我们的备课思路强调从学生的已有经验出发，来设计认知路径。在学习本课之前，学生的已有经验是能从整体上辨认平行四边形，这是第一学段中初步认识的要求。且已经学习了“平行与垂直”，有了从边与边的位置关系来描述图形的知识储备。那可以怎样利用学生这些已有的经验呢？我们想到让学生根据自己心中的“样子”来调整图形，在几何画板上将不是平行四边形的图形调整成平行四边形。在这样的调整过程中，引导学生聚焦“调整”目标，学生可用“平行”来描述心中的“样子”，这样就可自然给出平行四边形的“明确说法”，学生将有意义地接受“平行四边形”的定义。以下是这一环节的教学片段——

师：今天咱们要学习——《平行四边形的认识》。平行四边形，肯定与什么有关？——对，肯定与平行有关。

用几何画板出示一个接近平行四边形的梯形。

师：咱们先来看一个。它是平行四边形吗？

师：这里有没有平行？哪两条边平行？（说明这两条边可称作一组对边）——既然有平行了，那为什么还不是平行四边形？

学生可能会说：要另一组对边也平行。

师：这样吧，谁能上来调整一下？我这个四边形，它的顶点是可以拖动的。你可以拖动一个顶点，把它变成你心目中的平行四边形。

请一生上台操作，其余学生帮助看一看：是平行四边形了吗？

师：你们觉得现在是了，为什么？——因为现在两组对边都平行了，所以它是一个平行四边形了。

师：哦，你们调整的目的就是使它两组对边都平行。目测准不准，不好说。我们借助网格来看看。上下这组对边？平行了。左右这组对边？是一样斜吗？（可能需要微调）这样也平行了。现在，我们就真得到了一个平行四边形。

师：根据刚才的调整，你现在能不能向人介绍一下：什么样的图形才是平行四边形？

——要两组对边分别平行的四边形，就是平行四边形。

师：没错，数学上正是这样介绍它的（课件出示一个平行四边形，同时出示概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。）

师：实际上，一年级的时候咱们就认识过平行四边形，只不过那时候，咱们是看起来像这个样子的，就是平行四边形。今天再认识它，我们已经学了平行，就可以给它一个明确的说法了，那就是——两组对边分别平行的四边形，就是平行四边形（板书定义）。有了这个明确的说法，我们算是正式认识它了。

二、根据定义作判断，培养学生初步的理性思维。

认识图形，应该给学生提供充分的变式材料，这样才能帮助学生把握对象的本质属性，形成准确的概念。因此，我们在揭示定义之后，立即展开了辨析平行四边形的教学活动。以下是这一活动的教学片段——

  出示四边形（1）。

师：它是平行四边形吗？

生：是。

师：怎么确定它是？

生：两组对边分别平行。

师：你目测觉得它们是分别平行的。真的平行吗？是不是应该检查一下？

师：我这儿有个神器——调出自制的平行线工具。这组平行线可以放大缩小。检查一下，对边平行吗？

生：平行。

师：在我用神器检查之前，你们说它是平行四边形，是因为看起来像。用神器这么一查，可以肯定了吗？

生：可以肯定了。

师：为什么能肯定了？

生：因为它两组对边确实分别平行。只要两组对边平行，就是平行四边形。

师：是的，对于平行四边形，我们已经有了这个明确的说法（指板书的定义），所以咱们再也不是一年级看“像不像”的水平了，而是可以讲道理了——“只要两组对边平行，就是平行四边形。”

继续出示四边形（2）。同样用神器来检查对边是否平行，再由此判断是否是平行四边形。

师：如果你留心，你就会发现——哈，就是刚才那个平行四边形哦！我不过把它转了点方向，你就不认识它了吗？（演示平行四边形（2）是平行四边形（1）旋转得到的）

继续出示四边形（3）。

师：再看看这个？确定是吗？——哈，还是刚才那个哦！转动不同方向，它变了吗？还是平行四边形。

再依次出示四边形（4）和（5）。

同样用神器检查发现：（4）的两组对边分别平行，所以（4）是平行四边形；（5）两组对边都不平行，所以它不是平行四边形。

以上“它是平行四边形吗？”的辨析活动，做得最不一样的地方，就是我们自创了一个“平行神器”，可用来检查四边形的对边是否平行。但检查平行与否并不是“神器”存在的最大意义。事实上也可以有别的办法来查验是否平行，但不如使用神器来得方便形象。学生最开始往往还是凭借“样子”来判断，脱口而出“是平行四边形”。这是自发地使用感官来判断。既然是进一步认识，就不能停留于感官判断。我们已有了平行四边形的定义，此时应将学生的思维从感性层面逐渐引向理性的分析——如果两组对边分别平行，那么，根据先前明确的“说法”（即定义），就可以断定是平行四边形。这即是一种理性的思维方式。引入“平行神器”，就是要将这一思维过程显性化，也是培养初步的实证精神。没有定义时，“像不不像”无法定论；有了定义就是有了明确的标准，符合这一定义的，就是平行四边形，不符合这一定义的，就不是平行四边形。看起来像的不一定是，再不能仅凭“像不像”来判断了。

有了前面的多次辨析，再依次呈现长方形和正方形——它是平行四边形吗？此时，完全无需教师来说服学生——

生：长方形也是平行四边形，因为它的两组对边也是分别平行的。

生：那这样说来，正方形也是。

生：长方形和正方形跟之前认识的平行四边形不同，它们都有直角。

生：平行四边形没说要直角啊。只要两组对边平行就行。

生：是的，平行四边形也可以有直角。

……

完全就是学生自己在说服自己。这在一般的课堂上是难以见到的。让学生接受长方形和正方形也是平行四边形，不是一件容易的事。因为一年级时认识的平行四边形和长方形、正方形有明显的不同，如今要略异求同归为一类，非理性思考难以认同。由此可见，从有意义地接受平行四边形的定义，到根据定义作判断，学生的理性思维开始启蒙了。

三、有效引导观察与操作，让“探究特性”获得“真切体验”。

对边平行是由平行四边形的定义直接得到的，所以无需探究。那么，除了对边平行以外，平行四边形还有些什么特点？探索图形特征是进一步认识图形的基本任务。但我们要有效引导观察与操作，才能让“探究特性”获得“真切体验”。具体做法请见下面的教学片段——

师：要知道平行四边形还有些什么特点，当然得——观察。可以关注什么呢？

生：看看它的边和角。

师：没错，它有边有角。我们至少可以从边和角两个方面去考察。边，除了位置关系，我们还关心什么？

生：边的长度。

师：角呢？

生：看角度大小。

师：很好，看来大家已经懂得了研究图形的一般方法。那凭直觉，你认为边的长度可能存在什么关系？还有角的大小呢？

生：可能对边的长度相等。

生：可能对角的大小相等。

师：对角指的是？

生：斜着相对的角（在图中指认）。

师：对边相等，对角相等，真是这样吗？怎么才能知道？

生：量一量，比一比就知道了。

师：那就动手吧！

……

师：量完有什么发现？对边真的一样长吗？对角呢？

……

师：诶，有人量出来不是一样长，你怎么看？

生：虽然不是一样长，但也差不多长。

师：那我们是不是就说平行四边形的对边差不多长？

生：不是，应该是一样长的。

师：明明量出来不一样长啊！

生：那可能是测量的时候没量准。

生：对，测量的时候可能会有些误差。

生：量角度时也一样，可能会有一点误差。

生：如果差得很多，那就是量错啦！

师：看来，大家都愿意相信平行四边形的对边一样长，对角一样大。我也来检查一下，不过，我就不量了，猜猜我怎么检查？

（利用希沃课件的克隆功能，复制一个平行四边形，再将这个平行四边形旋转180度，去与原来的平行四边形重叠）

生：哦，完全重合了！

师：说明什么？

生：对边是一样长，对角的大小也是相等的。

师：刚才你们测量可能有误差，我们还可以请个高手来帮忙，它呀，可以非常非常精确——（出示几何画板上的平行四边形，标明了边长和角度）你看看它的测量结果如何？

生：AB=CD，AD=BC，对边一样长。

生：∠A=∠C，∠B=∠D，对角也是一样大。

师：我这个平行四边形可厉害了，可以随意变大变小（演示拖动顶点改变大小）。测量结果变了吗？

生：变了。

生：但还是对边相等，对角也相等。

……

从“观察”到作出直觉判断，再到“真是这样吗”，“有人量出来不是这样，你怎么看”，整个探究过程老师给出了最自然合乎逻辑的引导，学生的操作有的放矢，所获得的体验真真切切。如何观察，怎么确认，以及关于误差的讨论，处处闪烁着理性思维之光。在这样的教学过程中，学生不仅仅是获知平行四边形对边相等、对角相等的特性，更是收获了研究图形的方法，开始有了初步的理性思维方式。

以上就是我们长沙高新区小学数学教育研究工作室的伙伴们，对“平行四边形的认识”一课所作的尝试。本节课由我区明华小学阳许洁老师执教。因教学目标定位于理解定义以及根据定义作判断，探究平行四边形的特性，故将平行四边形高的认识放到了下一课时。从课堂实施的情况来看，这样的取舍是比较合适的。

转自：“与你同研小学数学教育”微信公众号

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