打开“想象之眼”，在动态变化中整体认识两直线的位置关系——人教版四上《平行与垂直》的教学实践与思考

沙高新区小学数学教育研究工作室

平行与垂直，是讲同一平面内两直线的位置关系。人教版教材上关于此内容的编排及意图说明如下：让学生在一张纸上任意画两条直线，引领学生通过观察、分类、讨论、比较等多种活动，体会在同一平面内两条直线的位置关系有相交和不相交两种情况，并在此基础上帮助学生建立平行的表象，引导学生自主建构平行线的概念。在学生经历了分类和认识了平行线的基础上，进一步引导学生通过测量，发现两直线相交又有两种不同的情况，即有成直角的和不成直角的，进而建立垂直的表象，抽象出垂直的概念。囿于教材的编排，长久以来在教学《平行与垂直》一课时，老师们总跳不出“分类”的藩篱，总是守着几个静态的图示反复议来辩去，往往大费口舌效果却一般。能不能摆脱教材的“路径依赖”，走走新路？笔者遂做了一番尝试。

一、“我为什么不讲分类？”

在教学设计之初，我首先摒弃了教材上“画图分类”的做法。我为什么不讲分类，主要是出于以下三点思考——

1. “会有哪几种情况”——问题是什么意思？

“在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？”这是教材例题提出的问题。在我看来，学生理解这个问题是很困难的。“任意画”是要怎样画？小学生对“任意”一词，恐怕理解起来没有我们想象的那么容易。究竟是要画长些还是画短些？两条线画近些还是画远些？画相交还是不相交？小学生初接触“任意”往往会懵，表现为不敢下笔，不知所措。

2.“你能把它们分分类吗”——如何确定分类标准？

面对呈现出来的作品，学生因尚未有过“位置关系”的研究经验，难以找到以“位置关系”作为分类标准。尤其，分类的事物是静态的图像，学生更难以从直线的特性出发去考虑它们的位置关系，从而将其作为分类标准。一般来说，学生看到当前画面呈现的状态（样子），更有可能分三类：即相交的、不相交的与快要相交的。还有可能分四类，即将相交成直角的拿出来再单独划为一类。这又是分类的标准不统一，此时也很难跟学生说清楚。因为学生尚未对平行、垂直与相交有较深入的理解，要想说明势必要费一番功夫。而在此若讨论分类标准，似乎又偏离了认识的重点。

3.“你更赞同哪一种分法”——学生真的认同吗？

“引导学生达成共识”，说起来容易，但学生真的认同吗？所谓“快要相交”的实际上是“相交”。我们说“直线可以无限延长”，可是这里画出来的就是还没有相交啊！学生会不会这样想？按画出来的情形分类，在学生看来也是很自然的事。因此，让学生赞同分“相交”和“不相交”两类，多少是有些勉强的。

以上就是我不讲“分类”的原因。“分类”很重要，是我们认识概念的重要方法和工具。很多时候都需要借助分类来把握同类事物的本质，培养学生的抽象概括能力，但分类也不是时时都好用。从“分类”来教学“平行与垂直”，在我看来就不是便于理解的好方法。

那该走一条什么样的新路呢？我有以下思考与尝试。

二、“无限是超经验的，要引导想象！”

张奠宙先生说——“想象力与生俱来，没有人因为想象不出平行线的无限性而学不好数学的”。所以关键是，我们要善于引导学生想象。遗憾的是，我们对此似乎并不擅长。不妨回想我们的课堂，常见这样的做法——将两条直线延长到屏幕边沿，“看，没相交！”那不是还没画完么？要是继续画下去会否相交？无限本该是引导想象的事，不能局限于延长来检验。也就是说，我们应该引导学生在想象中认识“平行”——如果两条直线朝向完全相同的方向，它们便不会相交，这样的两条直线就是一组平行线；而不是通过检验来认识“平行”——在有限的延长之后，肉眼可见没有相交，于是说它们是一组平行线。两种做法看似一样实则不一样，前者靠想象在脑中构建形象，不受现实中细微偏差所影响。后者则容易纠结于细微的偏差，争执平行与否。

下面结合具体的教学片段来说明如何引导想象。

1. 从生活经验出发展开想象，明了数学中的“平行”讲的是“两条直线方向相同不相交的位置关系”。

师：你知道“平行”是什么意思吗？举个例子说说看？

生举例如：平行班，平行的墙面，平行的边框，跑道等等。

师：刚刚大家说到的这些，都有“平行”的意思，但还不是我们数学里讲的“平行”。当然，有些例子是很接近的。比如，刚刚我们说到跑道。如果把笔直的跑道线想象成向两头无限延长，就可以得到我们数学当中研究的——直线（课件呈现从跑道线抽象出的直线）。一直延长，这两条直线会相交吗？（不会，跑道总是那么宽，或者说那两条线总是朝着同样的方向，所以不管怎样延长，它们都不会相交）

师：是的。如果两条直线朝向完全相同的方向，就不会相交。这就是我们数学当中所讲的“平行”。所以，数学中的“平行”讲的是——“两条直线的位置关系”。（板书）

师：很接近的例子还有火车铁轨。如果我们把两条铁轨想象成笔直不断向前，也可以得到两条方向相同的直线，它们也是平行的。

以上的教学片段从生活实际出发，为“平行线”找到了现实原型。但又不仅限于此，“如果”怎样，就是“平行”，这样的语言就是在引导学生想象。在此引导下，忽略其他，凸显平行线本质，很快就讲清楚了“平行”这一概念。相较用“分类”的方式教学而言，这样处理简明易懂。分类半天纠缠不清，学生极有可能越辩越糊涂。为何不直截了当把这个概念讲清楚？何苦扭扭捏捏？

2.“直线可以向两端无限延长”与“看到一部分，要打开‘想象之眼’想到它本来的样子。”

师：你们都画得很好，我也想来画一组平行线。先画一条。这是？

（课件出示一条线段）

师：我们今天讲的是直线，那这两个端点？是的，得去掉。不过，去掉意味着什么？（可以向两端无限延长）

（课件显示线段的两个端点溜走，直线向两边延长直到屏幕边界）

师：还可以长吗？能画完吗？今天我们要研究直线，可直线又画不完，怎么办？是的，只能画出它的一部分（课件呈现之前的直线）。但是看到这一部分，你要能想象它本来的样子。所以，你还得有第三只眼——“想象之眼”。行不行？

师：试试看啊，这是？

（课件出示直线的另一段。和前面的一段实际上是同一直线）

师：是又一条直线吗？看来，你的“想象之眼”还没有打开。对，还是同一条直线哦，我只不过画出了它的另一部分。再来？

（课件出示同一条直线的另一段。和前面的两段还是同一直线）

师：没错，还是它。所以，你看到它的一部分，一定要打开“想象之眼”，才能看到真正的它。

这一段看似与本课无关，因为在此之前，学生已经学习过“直线、射线和线段”，按说学生应该对直线的性质是十分熟悉的。但我们在教学实践中不难发现，学生对直线特性的理解仅限于口头上会说“直线可以向两端无限延长”，却无法在实践中加以运用。表现为看直线就只看到画出来的部分，没有主动去想象还有没画出来的部分。即直接把“直线”当成了“线段”。这也印证了老师不擅引导想象。“直线可以向两端无限延长”显然是直接告知的结果，至于学生会不会看，会怎么看直线，就不得而知了。本环节做了特别的细节设计，引导学生打开“想象之眼”，明确对于直线我们看到的永远是部分，但我们要主动去想象整体。如此看直线，才能更好地理解与判断两条直线的位置关系。

3.“延长会相交”与“你看到交点了吗？”

（课件出示直线b。与a并不平行。请学生上台调整，转动直线b的方向，使之与直线a平行。借助点子图检查是否平行。然后教学继续如下。）

师：如果直线b方向再转一点点呢？

师：不平行那会？别忘了打开你的“想象之眼”！会怎么样？

师：它们会在哪里相交？（会在很远的地方相交）厉害！打开“想象之眼”，你就能看到它们在很远的地方一定会有个交点！

师：继续转动，平行还是相交？在哪儿相交？（学生上台估摸着指出交点所在位置，再利用希沃学科工具尺画出直线藏着的部分，验证交点的位置）

师：直线b转多少度才回到与a平行的位置？（至少180度）

师：方向完全相同，终于又平行了！看来两直线要平行，可真不容易啊！

同样，“延长会相交”，这常常是我们直接告知学生的结果。这一告知不足为奇，难以引起学生重视，所以是一句空洞的话。改为“你看到交点了吗？”则可大大激发学生的兴趣，想象交点在哪儿，引导学生自然而然地从直线的性质出发去关注两直线的位置关系。

  4.想象与观察有机结合。

  在本节课中，还有多次提供机会让学生将想象与观察有机结合，从而发展空间观念，培养几何直觉。比如旋转其中一条直线，观察线的走向，想象交点在哪儿？在旋转的过程中交点是由远及近还是由近及远？先想象，再将直线画长来直观呈现交点的变化加以验证。还有想象两直线相交时角的变化，再来观察是不是这样？学生在此过程中既能增强体验增加自信，也能及时修正头脑中有误或不到位的想象。

三、在动态变化中整体认识两直线的位置关系。

1. “静态图示”与“动态位置”。

以往通过“画图分类”来认识平行与垂直，所给的图例有限，且学生面对静态的图示，容易形成机械甚至错误的认知——要画成像“=”样子的，才是平行；要画成像“+”样子的，才是垂直。然而，“位置”是可以变化的，变化不同的位置可以有相同的关系，也可能是不同的关系。在动态变化中不是能更好地认识“位置”这种相对关系么？于是，我们的实践中有以下的教学片段——

（当直线b转回到与直线a平行的位置之后）

师：如果我转动直线a呢？现在还平行吗？（直线b也得跟着转到同样的方向，或者说转动同样的角度。此处多次转动直线a，让学生上台调整直线b的位置，使两直线始终保持平行。这样让学生时刻关注两直线的位置变化，认识到平行的各种变式图示，不仅仅是“=”这个惯用的标准图示。）

师：如果直线a移到那儿去了呢？（拖动直线a使之平移一段距离）

师：是的，平移过去并没有改变直线的方向，所以它们还是平行的。

……

师：只要两条直线保持方向完全相同，它们就互相平行。像这样，每组的两条直线都是互相平行的。（课件出示多组范例，以及文字：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。a 与b 互相平行，记作a//b，读作a平行于b）

在认识垂直的教学中也有同样的教学片段——

师：现在这两条直线是互相垂直的，如果我把直线a 转动一点，现在还垂直吗？谁上来调整一下直线b使它们依然垂直？

师：看起来是了，检查一下？（学生用三角尺或量角器来检查）

师：如果是这样呢？（师再次转动一条直线，学生再次调整另一条直线使两条直线互相垂直）

师：如果这样呢？（将一直线平移，使两直线相交只呈现两个直角，进一步使两直线相交没有呈现垂足）它们还是互相垂直吗？

师：不管画没画出来，只要我们打开“想象之眼”，就可以做出正确的判断。

2. 整体感知两直线的位置关系。

与对静态图示进行分类的教学最大的不同，就在于在动态的变化过程中，我们是引导学生整体感知两直线的位置关系——将其中一条直线b旋转一周，感受直线a、b从平行到相交，再又回到平行的位置。在这样的过程中学生可以认识到：平行是两条直线比较特殊的位置关系。有且只有两条直线方向完全相同时，它们才是互相平行。两条直线通常情况下指向不同的方向，则两直线是相交的关系，特殊情况指向同样的方向，此时两直线才是平行的关系。至此，对于“相交”与“平行”，学生就有了整体性的感知和理解。若此时再来对各种静态图示进行分类，学生头脑中自会有清晰的标准。

接着引导学生想象并观察两直线相交中的变化，有如下的教学片段——

师：平行很特别，相交就很普通了。不过啊，如果我们认真再观察一下两直线相交的情况，也会有一些有意思的发现。我们不妨再来看看这个旋转的过程，都是相交，有什么变化？

师：交点？

（随着方向的偏差越来越大，两直线的交点会越来越近，直到能在屏幕上看到。）

师：除了交点越来越近，你还有什么发现？

（相交形成的四个角角度越来越接近。原来是对着的角相等。有一组角小，另一组角大。后来那组小的角越来越大，那组大的角越来越小，直到四个角相等，然后继续又是两组对着的角分别相等，原来的小角继续变大，直到一条直线旋转180度，回到两直线平行的状态。）

师：在两直线相交的情形中，你有没有发现一种最特殊的情况？（请学生用手势表示或者是一位同学上台来调整两直线的位置）

师：特殊在哪儿？

（相交形成的4个角都是直角）

师：真是这样吗？看起来是，我们用什么工具可以检查一下？

（用三角尺或量角器比一比或量一量）

师：如果继续转，到再次回到平行之前，还会有四个角都是直角这样的情况吗？

师：所以说，这种相交成直角的情况也很特殊，这时候我们就说这两条直线互相垂直。

在整体认识了平行与相交之后，如此教学能让学生认识到“垂直”是相交中的一种特殊位置关系。于是，对于“平行”“垂直”与“相交”的概念，学生就能有清晰的分辨。最后小结两直线的位置关系，阐释课题——

师：学到现在，我们来回顾一下：今天我们的课题叫做——平行与垂直（板书课题）

师：那意思是不是说在同一平面内，两条直线要么平行要么垂直？

（并不是。应该说两条直线要么平行要么相交。只有方向相同时才平行，一般情况下都会相交。如果相交的话，只有成直角时才互相垂直，一般情况下都不垂直。）

师：那为什么课题不叫“平行与相交”，而要叫“平行与垂直”呢？

（平行与垂直是两条直线很特殊的位置关系，它在数学中在生活中都很重要，所以我们对它们特别关注。从课题就可以看出来了。）

形成课堂板书如下：

从以上教学尝试的实践效果来看，引导学生打开“想象之眼”，在动态变化中整体认识两直线的位置关系，学生对相关概念及其关系能理解得更到位，体验也会更深入，在后续认识各种平面图形时从边与边的位置关系研究图形的新视角也会来得更自然。

转自：“与你同研小学数学教育”微信公众号

如有侵权，请联系本站删除！