个人简介
徐斌，苏州大学实验学校副校长，正高级教师，全国著名特级教师，全国小学教育专业委员会理事，江苏省小学数学教学专业委员会常务理事，苏州大学基础教育研究院无痕教育研究所所长，江苏“人民教育家工程”培养对象，教育部“国培计划”首批特聘专家。曾获江苏省小学数学优课比赛第一名，全国小学数学创新课评比一等奖。在省级以上刊物发表论文500余篇，应邀到全国各地讲学500余次。教育事迹在《人民教育》专题报道，《中国教育报》曾七次连载了“徐斌教育教学艺术系列报道”。出版有专著《无痕教育》及“中国名师”系列教学光盘。创办的教育公众号“徐斌无痕研究”具有一定影响力。
主要讲课内容：小学一至六年级的典型内容课堂教学
主要讲座内容：《义务教育数学课程标准修订解读》《小学计算教学专题研究》《小学概念教学专题研究》《小学解决问题教学专题研究》《无痕教育的理论内涵与实践策略》《教师专业成长五要素》《小学数学课堂教学误区分析》《双减背景下的数学课堂练习设计》《单元整体教学的思考与实践》等等。
本文刊载于《小学教学设计》（数学）2023年第1-2期
摘 要：本轮新课标修订的重要变化之一是对课程内容作了结构化调整。本文从新旧课标课程内容的对比分析出发，具体分析了“数与代数”领域的两个学习主题——数与运算、数量关系，阐述了各学段“数与代数”的内容要求及学业要求，并针对数概念、数运算、数量关系的教学提出针对性教学建议。
关键词：新课标；数与代数；结构化；教学建议
2022年4月21日，教育部正式发布了《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”），从此，基础教育课程改革又迈入了一个新的历史阶段。新课标的发布必然带来新理念和新变化，也将带来新的机遇和挑战。在“中国数学会数学教育分会首届（2022年）学术年会”中，数学课程标准修订组组长史宁中教授在线作了题为《数学课程标准修订与核心素养》的学术报告，他指出，与实验稿课标及2011年版课标相比，新课标呈现了五个方面的主要变化：一是如何调整学段更合理；二是如何把“三会”与“四基”“四能”相结合；三是如何调整课程内容结构；四是如何丰富“综合与实践”；五是如何体现数概念和运算的一致性。从中我们发现，五大变化中有三条涉及到课程内容的具体修订，这启示我们要加强新课标的课程内容部分的深入研究与实践。
尽管新课标在课程内容的四个领域方面的名称没有发生变化，依然是数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践，但每个领域具体内容和要求都作了结构化整合。本文试从“数与代数”领域的内容结构化分析出发，提出新课标理念下的针对性教学建议。
一、“数与代数”内容结构化特征分析
1.调整了小学各学段的领域内容主题。
无论是新课程改革之前还是之后，“数与代数”一直是义务教育阶段学生数学学习的重要领域。2011年版课标把“数与代数”领域分解为六个方面的内容主题：数的认识、数的运算、量与计量、探索规律、式与方程、正比例和反比例。新课标则作了较大幅度的调整，把数的认识和数的运算合并为“数与运算”主题，把探索规律、式与方程、正比例和反比例合并为“数量关系”主题（方程和反比例移至第四学段），把量与计量内容调整至“综合与实践”领域。这样，新课标的“数与代数”领域只有两个主题：数与运算、数量关系。
数与运算主要包括整数、小数和分数的认识及其四则运算。数学的研究对象是客观世界的数量关系与空间形式。数是对数量的抽象，数的运算重点在于理解算理和掌握算法。数与运算之间有着密切的关联，数概念的认识是数运算的基础，数的运算可以进一步促进学生对数概念的认识和理解，两者相辅相成。
数量关系主要是“用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律”[1]。新课标强调让学生“经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识。”[1]
2.强调了数概念一致性和运算一致性。
新课标在数与运算教学内容部分，特别强调“数的概念本质上的一致性”和“数的运算本质上的一致性”[1]。何为一致性？新课标又是如何不断强调这两个一致性的？
新课标强调通过数学课程学习培养学生的核心素养。核心素养具有整体性、一致性和阶段性，因此数学课程的整体性具体表现为学习内容的一致性。数概念的一致性首先表现为整数、分数和小数都是有各自的计数单位的，都是可以数出来的。整数、小数和分数本质上是一个整体，因此新课标在设计第二学段认识分数和小数的教学内容时，提前教学分数单位和小数单位，并结合整数和小数的认识感悟十进制计数法，进而发展学生的数感。
数运算的一致性则从第一学段就提出“让学生感知数的加减运算要在相同数位上进行”[1]，第二学段指出“通过小数加减运算、同分母分数加减运算，与整数运算进行比较，引导学生初步了解运算的一致性”[1]，第三学段进一步提出“数的运算教学应注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，让学生进一步感悟运算的一致性”[1]。例如，在分数加减运算的过程中，要“引导学生理解通分的目的是得到同样的计数单位，进一步理解计数单位对分数表达的重要性，理解整数、分数、小数的加减运算都要在相同计数单位下进行，感悟加减运算的一致性。”[1]
3.注重了加法模型和乘法模型的教学。
自2011年版课标在核心词中增加“模型思想”以来，这已经成了数学学科的基本思想之一。新课标把小学阶段相关核心素养的表现调整为“模型意识”，更加体现了小学阶段重在经验的感悟这一阶段性特征。新课标指出：“模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟”[1]。模型意识主要包括两方面含义：一是知道数学模型可以用来解决一类问题；二是能够有意识地用数学的概念与方法解释生活中的数学问题。
新课标在第二学段正式编排了加法模型和乘法模型的三种数量关系：总量＝分量＋分量，总价＝单价×数量，路程＝速度×时间。此处，加法模型是新增加的数量关系表达，而乘法模型具体表现为两种形式：一种是与个数有关的（总价＝单价×数量）；另一种是与物理量有关的（路程＝速度×时间）。新课标还特别指出，让学生“感悟模型中量纲的意义”[1]。
二、“数与代数”领域修订的教学建议
1.数概念的教学。
新课标调整了“数与代数”领域内容，把百分数和负数分别移到“统计与概率”及“综合与实践”领域，因此小学阶段数概念的教学主要是认识整数、小数和分数。
数概念的教学关键是计数单位的建构。数学家华罗庚早就指出，“数（shù）起源于数（shǔ）”。计数单位是在抽象中形成的关于数与顺序的一种计量单位，有了计数单位，就逐渐克服了逐个计数的低效和繁琐，进入按群计数阶段，进而使得计数活动变得高效和简便。因此可以这样说，数的概念发展过程就是计数单位的发展过程[2]。
小学生首先认识的是整数。整数的认识要从实际生活中的计数活动开始，在计数活动中经历从数量抽象为数的过程，在计数活动中体验位值产生的必要性（尤其是0产生的必要性和优越性），在计数活动中感悟十进制计数法的历史价值。基于第一学段儿童的年龄特征和认知规律，在计数活动中除了要从真实情境和实际生活出发，还需要借助认数的工具例如小方块、圆片、小棒、计数器、算盘等，帮助学生逐步完成从数量到数的抽象过程，尤其是充分积累“满十进一”的计数经验。
分数的认识。一般来说，现行教材都是在第二学段先认识分数，再认识小数，然后在第三学段进一步学习小数的意义和分数的意义。在初步认识分数时，要联系生活中的分东西活动，对接二年级学习的除法运算含义“平均分”，然后由“分”到“数（shǔ）”，提前学习分数单位（新课标在第二学段初步认识分数时将引入分数单位），这样也体现分数与整数概念内在的一致性，都可以数出来，都是依据计数单位进行建构。到了第三学段，抽象出分数的意义，并进一步沟通分数与除法的关系，进行分数、小数之间的互相转化。
小数的认识。小数和整数一样，也是基于十进制计数法来建构的，因为小数的本质是十进分数。因此，现行教材一般是在三年级首先认识分数，紧接着认识小数。新课标关于小数的认识，依旧是安排在第二学段和第三学段，分两次集中教学。第二学段主要是初步认识小数，感悟小数单位，会计算一位小数的加减法；第三学段是理解小数的意义，进一步感悟小数单位，会进行小数和分数的转化。和分数的认识一样，新课标也是在初步认识小数前就认识小数单位，而小数单位的感悟，将有利于学生对十进制计数法获得更加丰富的认识。
2.数运算的教学。
小学阶段数的运算主要包括整数、分数、小数的四则运算。一般来说，数的运算都是编排在数的认识之后，并结合数概念的含义帮助学生理解算理和形成算法，培养学生的运算能力和推理意识。
第一学段的运算教学，主要是了解四则运算的意义，感悟运算之间的关系，并主要探索整数加、减、乘、除法的算理和算法。本学段结合整数四则运算意义的教学，让学生首先通过具体性活动，直观认识加法运算，这是所有运算的源头和起点；然后通过减法的学习，感悟减法是加法的逆运算；最后在具体情境中理解乘法是加法的简便运算，结合乘法运算学习除法运算，并感悟除法是乘法的逆运算。
第二学段的运算教学，整数领域主要是多位数的乘除法和四则混合运算（以两步为主，不超过三步），分数领域是同分母分数加减法，小数领域则是一位小数的加减法。本学段依然是以整数四则运算为主，重在探索多位数的四则运算，并且整数四则运算的学习将告一段落。小数和分数的简单加减法，是结合小数和分数的初步认识进行的，一方面加深学生对小数和分数含义的理解；另一方面，重在让学生感悟数的加减运算要基于相同的计数单位，进一步了解运算的一致性。同时，本学段还教学小括号和中括号的使用规则，以及探索和理解运算律（加法交换律和结合律，乘法交换律和结合律、乘法对加法的分配律），能用字母表示运算律，体会运算律是理解算理和掌握算法的重要依据，培养学生初步的代数思维。
第三学段的运算教学，主要是能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算（不超过三步）。本学段的运算教学，重点是要对整数、小数和分数四则运算进行统筹，让学生进一步感悟运算的一致性。四则运算的意义学生在第一学段已经获得初步理解，第二学段主要是整数领域的四则运算，而到了第三学段，由于小数和分数的介入，将会导致学生计算正确率和速度有所下降。因此，要解决这个难点问题，关键要抓住两点：一方面要从运算的一致性理解出发，让学生从计数单位入手，理解整数、小数和分数的加减运算都要在相同计数单位下进行，理解小数和分数乘除法也都与计数单位有关，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所言：“好的方法都强调计数”“运算的本质是计数”[3]。另一方面，要让学生灵活运用运算律和运算性质，能够运用运算律来解释运算的算理和算法，能够根据运算的数据和结构特点运用运算律或运算性质进行简便计算。
3.数量关系教学。
数量关系是新课标对“数与代数”领域内容结构化整合后的新的学习主题。
第一学段的数量关系教学，主要是两方面的内容：一是运用数和数的运算含义解决简单实际问题，能够解释结果的实际意义；二是探索用数或符号表达简单情境中的变化规律。教学时要结合简单的情境，让学生提出合适的问题，并能利用直观的方法表达数量之间的关系，感悟数学与现实世界的关联，培养初步的模型意识、几何直观和应用意识。
第二学段的数量关系教学，主要包括五个方面的内容：体会估算在实际应用中的作用；借助计算器探索简单的规律；具体认识两类模型（加法模型和乘法模型）和三种数量关系式（总量＝分量＋分量，总价＝单价×数量，路程＝速度×时间）；了解等量的等量相等；能对解决实际问题的结果作出解释。本学段的数量关系主题的学习内容比较多，重点是帮助学生建立模型意识，能够根据已知信息之间以及已知信息与所求问题之间的关系进行分析与推理，与加法模型或乘法模型进行对接，然后结合四则运算的含义正确进行列式与表达，进而会用数学的语言表达现实世界，提高问题解决的能力。此外，新课标强化了估算教学的实际意义，指出，要“引导学生在具体的问题情境中选择合适的单位进行估算，体会估算在解决实际问题中的作用”[1]。
第三学段的数量关系教学，主要包括六个方面的内容：理解等式的基本性质；在实际应用中选择合适方法估算；探索用字母表示关系、性质和规律；理解比和比例以及按比例分配的应用；认识成正比的量；进一步运用常见数量关系解决稍复杂的实际问题。与之前的课程标准相比，本学段最大的内容变化是把小学阶段教学了几十年之久的“方程”移到了第四学段，同时把反比例也移到初中学段教学，并把正比例调整为“成正比的量”。教学本学段的数量关系内容，要注意如下三点：一是加强用字母表示数的教学。尽管新课标把方程移到初中教学，但是在小学阶段更加注重了用字母表示数的教学，并指出要让学生在合适的情境中会用字母或含有字母的式子表达实际情境中的数量关系、性质和规律，并感受到字母表示的一般性，培养学生的代数思维。二是加强比、比例、按比例分配、成正比的量的教学。教学这几个数学概念时，要从数量关系的视角出发，联系生活中的真实问题展开，联系倍的概念、分数的意义、除法的含义进行教学。三是加强解决问题策略的教学。本学段常常会遇到一些解决稍复杂的实际问题，因此需要学生掌握一定的解题策略，才能灵活分析数量关系，并能逐步学会一些基本策略（如画图、列表）、一些特殊策略（如倒推、列举），以及一些高级策略（如转化、假设），进而培养学生的模型意识、推理意识和应用意识，提高问题解决的能力。
（本文系徐斌老师义务教育数学课程标准深度解读系列文章之一）
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.
［2］巩子坤，史宁中，张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性［J］.课程·教材·教法，2022（6）：45-51.
［3］王永.数学化的视界：小学“数与代数”的教与学［M］.北京:北京师范大学出版社，2013：24.
（作者单位：江苏省苏州大学实验学校）
转自：“小学教学设计”微信公众号
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