问题链设计是新课标下教学所关注的重点，更是建构单元整体教学的重要一环。教师如何利用问题链设计，通过解决这些问题逐层深入教学内容，进而实现教学目标？
本文提供了一个立足学生学习痛点，并以问题链为核心驱动的单元整体设计案例，为教师提供切实可行的参考。
阅读本文，你将收获以下内容：
※ 如何根据学生学习难点，进行单元问题链设计？
※ 如何用问题链让学生从理解向应用迁移转变？
问题提出是新课标下教学需要关注的重点之一。如何发挥“问题”对学生主动参与教学活动的促进作用，使学生在活动中逐步发展核心素养？
我们以人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》单元教学设计为例，针对学生在数学学习中的知识迁移难点与思维发展特点，锁定单元主要概念“圆柱与圆锥”，以五个核心问题为链，让学生经历理解概念到迁移概念的过程，培养学生的核心素养。
01
直攻学生痛点，确定素养目标与评价
依据2022版义教数学课标，本单元指向“空间观念”“量感”“几何直观”等核心素养表现。基于此，我们聚焦“借助三维和二维的互相转化探索图形的认识与测量”这一核心概念。落实课标中第三学段（５—６年级）“认识长方体、正方体和圆柱，能说出这些图形的特征，能辨认这些图形的展开图，会计算这些图形的体积和表面积；认识圆锥，能说出圆锥的特征，会计算圆锥的体积；能用相应公式解决简单的实际问题，形成空间观念和初步的应用意识”的学业要求。
▲本单元核心概念及其进阶路线图
为了更好地确立本单元的素养目标与实施单元教学，我们首先对学生的现有学习情况进行了分析。在学习本单元之前，学生已经探索并掌握了长方形、正方形、圆、长方体及正方体等一些常见平面图形和立体图形的特征，掌握了正方体、长方体表面积和体积的计算方法，并积累了一些研究图形的基本经验。
从思维发展特征来看，该阶段的学生以形象思维为主，但抽象思维能力也有了初步的发展，具备一定的分析综合、抽象概括的数学活动经验。
针对本单元要掌握与学习的内容，我们发现学生仍然存在一些难点。一方面，学生对于机械地套用公式计算表面积和体积问题比较娴熟，但对于圆柱与圆锥体积、底面积、高的关系，对于面与体、体与体的空间想象、推理还比较欠缺。
另一方面，当学生分别学习圆柱与圆锥体积时，无论对于过程推导还是公式应用都显得较为清晰，但当把圆柱与圆锥体积的有关内容放在一起时， 学生往往容易混淆、出错。
基于对课标、教材与学情三位一体的把控与分析，立足数学核心素养，我们制定了本单元的素养学习目标，包含数学知识、数学思维、数学实践与态度责任四个维度。
▲本单元素养目标
单元评价是检验素养培养程度的载体，因此本单元学习评价的设计基于素养目标的四个维度，结合学科内容与学生思维发展水平设计评价指标，以学生自评、同伴互评、教师评价为多元主体，帮助学生明晰不同学习阶段应达到的水平与程度，以评促学。
▲本单元学习评价（上下滚动查看
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02
巧设问题，深化思维的迁移应用
本单元的主要学习概念是“圆柱与圆锥”，立足这个概念，我们搭建了理解-掌握-运用-应用-迁移五个层面的学习进阶过程，分别对应五个学习问题链，从圆柱与圆锥的特征出发，单元教学贯穿思维型教学五大原理，让学生经历从知识理解、应用到迁移的完整过程，发展学科核心素养，带领学生完成认知的深化、完善认知结构。
▲本单元学习进程
1 抓住维度的转变，深化特征认知
在对圆柱和圆锥的理解阶段，涉及二维与三维空间的转换，主要包括“面动成体”与“面卷成体”两类教学难点。因此，教师要引导学生立足操作与想象，建立二维与三维图形之间的联系，找到对应的图形元素，在维度的来回转换过程中深化对图形特征的认知。
具体到问题一的教学中，首先需要创设真实情境，并通过一个个富有启发性的问题，不断引发学生思考。设计多个富有挑战性的问题能充分引发学生的认知冲突，激发学生的学习动机，引领学生主动思考。通过问题驱动，激发学生积极探索和深度思考的欲望。
教学片段1
师出示情境：某工厂需要制作圆柱形纸盒，如果接头处不计，需要多大面积的纸板？
师：这个问题我们该如何着手解决呢？
生１：求纸板的面积，其实就是求圆柱的表面积。
生２：圆柱的表面积有３个部分，分别是２个底面积和１个侧面积。所以我们只要分别求出来就可以了。
师：大家同意吗？这个底面是我们熟悉的圆，相信大家都没有问题。可是这个侧面是个曲面，该怎么求呢？
生：可以把这个曲面展开后再计算。
师：为什么一定要展开后再计算呢？
生：因为侧面是一个曲面，不方便计算，展开后可以变成一个长方形，然后用长方形面积公式来计算。
师：把曲面变成平面，这个方法棒极了！老师很欣赏你们的新方法，其实它是数学中非常重要的方法“化曲为直”。下面我们就一起来动手实践，把圆柱的侧面展开，看看到底会不会是长方形呢？
2 注重知识的迁移，完善知识结构
当单元学习进入到概念的掌握与运用阶段时，会触碰到学生学习中的痛点——知识迁移。为了帮助学生克服学习困难，以问题三的教学为例，我们在圆柱体积的推导过程中引导学生回忆圆面积的推导过程，利用知识的迁移来推导圆柱的体积，有效激活学生原有的知识经验，完善对柱体概念的理解。
当学生有了这样的经验积累，再引导学生去探究“方中圆”“圆中方”，从二维到三维，不断丰富认知，实现新旧知识间的贯通。
教学片段2
师：所有这些都只是我们通过类比猜想出来的，有了猜想，我们还需要验证。观察教材第25页例5，特别是两位同学的对话，我们试着找一个推理圆柱体积公式的新方法。请你说明你的思路。可以利用教具边演示边解释。
生：我们知道圆柱底面是两个同样大小的圆，根据圆面积的推导公式，可以把圆平均分成若干份，并沿着分割线切开。我们会发现把分割出的其中一半展开，与展开的另一半相对就可以吻合，从而拼成一个长方形。
师：拼成的是长方形吗？
生：不是，是近似长方形。
师：是的，我们在分割圆的时候，拼成的都是近似的长方形，不过分割的份数越多，就会越接近长方形。
生：也可以像推理圆的面积公式一样，把圆柱平均分成若干份，分的份数越多，拼起来就越会接近长方体。
师：就是这样，平均分的份数越多，它就越接近长方体，不过它永远都只是近似的长方体。
师：观察
，从圆柱到近似的长方体，什么发生了变化？什么没有变？你有什么发现？
生：形状变了，表面积变了，但体积不变。师：表面积有什么变化？是变大了还是变小了，为什么？为什么体积没变？你有什么发现？
生１：我发现表面积变大了，与圆柱比较，它多了露出的两个面，所以变大了。
生２：我发现圆柱的体积不变，因为圆柱材料没有增加也没有减少，不管它是什么形状，它占空间的大小都是那么大。
师：我们发现圆柱切割后拼成近似的长方体体积没变，那么这个长方体的各部分与圆柱的各部分又有什么关系？请你描述一下。
生１：长方体的长＝圆柱底面的周长，长方体的宽＝圆柱底面圆的半径，长方体的高＝圆柱的高，因为长方体体积＝长×宽×高，所以圆柱体积＝2πr²h
生２：长方体的长只相当于圆柱底面圆周长的一半，不等于底面积的周长。
师：请大家再一次认真观察由圆柱到长方体的变化过程，厘清各部分之间的对应关系。长方体的长相当于圆柱的什么？
生：圆柱底面圆周长的一半。
师：长方体的宽相当于圆柱的什么？
生：长方体的宽相当于圆柱底面圆的半径。
师：长方体的高相当于圆柱的什么？
生：长方体的高相当于圆柱的高。
师：由此我们就可以推导出圆柱的体积等于圆柱底面积乘圆柱的高，用字母表示是：V柱=Sh=πr²h
在以上的教学片段中，学生充分经历了自主建构的过程。学生自己动手实践、自主探索，在实践中体验，从而获得知识。教师通过设疑，指明探究方向，营造探究新知识的氛围。
学生先独立完成，再进行小组合作交流，探究圆柱底面、高与拼成的近似长方体的底面积、高之间的关系，进而推导出圆柱的体积公式。这一环节给学生提供了充分的交流时间，让学生的手、脑、嘴、眼各种器官充分利用起来，真正理解圆柱体积的推导过程。
3 加强图形的联系，发展空间观念
学生思维能力的提高，必须经过综合运用知识解决问题的过程的历练。因此，在进一步理解等积等底、等积等高的基本模型后，教师提供复杂的问题情境，便于学生直接根据模型特征作出判断；或者经过简单计算，再与基本模型特征对照解决问题，而不是仅仅依靠计算这一途径。
在问题五的教学中，教师引导学生通过画图、列表等方法梳理图形的关系，实现圆柱与圆锥之间的等积、等高、等底的三种转化，帮助学生厘清图形间的数量关系，很好地将关注点由“如何通过计算去求得未知数”转向“相关信息之间的关系分析”，通过信息间的联想，培养学生“计算前想图形”的意识，发展他们的空间观念。
教学片段3
（１）师：判断下面的圆锥与哪些圆柱的体积相等。（单位：cm）
（大多数学生选择Ｃ，也有学生选择Ｂ。）
师：为什么不选Ａ和Ｄ？
生：圆柱Ａ和圆锥等底等高，因此圆柱体积是圆锥的３倍；圆柱Ｄ明显小多了。师：为什么大多数人选择Ｃ？
生：圆锥的高是圆柱的３倍，底面积又相等，符合等积等底的情况。师：你能反过来运用这个结论，真不简单！对于有疑问的圆柱Ｂ，我们怎样判断？
生：高相等，如果两个图形体积相等，那么圆锥的底面积应是圆柱的３倍。而这里圆锥的直径是圆柱的３倍，所以圆锥半径是圆柱的３倍，圆锥底面积就是圆柱的９倍。所以不符合要求。
师：如果有的同学还不能确定，我们不妨看看计算结果。师逐一出示每个图形的体积计算过程与结果。
（２）师：一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积比是１∶６。你能画图表示它们的体积比吗？
教师巡视，发现有的学生在给定的圆锥旁边画了一个底面积相等的圆柱，但看不出高的关系；有的学生不仅画了一个底面积相等的圆柱，还从圆锥的顶点起向圆柱中间画了一条水平的虚线，使人一眼就能看出高的关系；还有的学生思而不得。
师：结合之前的图形或经验，体积比为多少时是我们非常熟悉的情况？
生：体积比是１∶３。
师：现在你能画图表示它们的关系吗？
生独立画图，然后展示交流。
生１：第一组，它们的底面积相等，圆锥和圆柱的体积比是１∶３；要使圆锥和圆柱的体积比是１∶６，需增加一个同样的圆柱，因此圆柱的高应当是圆锥的２倍。
生２：第二组，它们的底面积也相等，圆锥和圆柱的体积比是１∶１；要使圆锥和圆柱的体积比是１∶６，需增加５个这样的小圆柱，因此圆柱的高也是圆锥的２倍。
师：这时圆柱和圆锥的高是什么关系？
生：圆柱的高是圆锥的２倍，圆锥的高是圆柱的１／２。师：如果圆锥的高是３cm，圆柱的高是多少cm？如果圆柱的高是12cm，圆锥的高是多少cm？
生：圆柱高是６cm，圆锥高是６cm。
师：如果圆锥和圆柱的底面积相等，体积比是１∶９，高之间是几倍关系？
生：３倍的关系。
实践证明，学生完全能够识别相应的模型，从而使解决问题变得更加直接和快捷，这对培养学生判断能力和推理能力大有裨益。在学生能够区分、运用等积等底与等积等高模型后，教师提供具有一定的挑战性和开放性的拓展题，为学生灵活运用模型解决问题创造了机会。
就是在这样不断唤醒、提取、应用迁移的过程中拓学创思，才使模型表象更加鲜活，学习的难点才有可能被攻克，从而有效培养学生思维的深刻性、灵活性。
本文素材来源于《思维型教学理论引领下的单元教学设计案例》
作者 | 杭州市文海实验学校 汪志华
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