以下文章来源于蜗牛爬数 ，作者我是王了了
二项式定理：很多小伙伴对于高中数学课本里的二项式定理感到很惊奇，我们可以有很多方法展开前几项，形如n=1,2,3，下图就是立体化展开前四项。
那二项式定理是如何产生的呢，课本里给了我们一个脉络图，并让小伙伴们自己查资料去了解。
首先还是要从古巴比伦谈起，瑞士学者范特惠顿在《科学的觉醒》一书中整理了古巴比伦泥板有关的内容，其中有一个我们熟悉的公式：，
关于这个公式的证明，我们又不得不提大名鼎鼎的欧几里得。欧几里得（公元前300年左右）在《几何原本》的第二卷的命题4中写道：若任截一直线，则整条直线上的正方形等于各线段上的正方形与两线段所围成矩形的二倍之和。
翻译一下就是直线AB被截于点C，然后做出上述图形，正方形ADEB的面积=正方形CGKB的面积+正方形HDFG的面积+矩形AHGC的面积+矩形GFEK的面积，转化成代数表达式为：
这个式子已经有了二项式的影子，但还远远不够，因为我们要研究的是的展开式。
在中国
在中国，早在汉代，数学家就利用完全平方和完全立方公式来开平方和开立方，《九章算术》里有开平方和立方的记载，为了开四次方以及更高次方，北宋数学家贾宪约于1023-1034年左右完成在其《释锁算书》中给出直到六次幂的二项式系数表，如下图所示。其中自上而下第n层即为展开式的系数。贾宪称该数表为“开方作法本原图”，今称“贾宪三角”。《释锁算书》已失传，南宋数学家杨辉（约13世纪中）在《详解九章算法》(1261)中记载了该图，并注明“出《释锁算书》，贾宪用此术”。“释锁”是当时的一种数学术语，指的就是开方，“开方作法本源”图见于《永乐大典》卷16344，（藏于英国剑桥大学）。
这个三角形主要用途就是开方或者解形如的高次方程。首先设,则
然后把展开，用贾宪三角求。
举一个例子求的正根。因为实数为4位数，可知立方根必为2位数，设为a+b，则
按贾宪三角第4行（1，3，3，1）得：估算第一位商，<<,则a=10
所以 ,易知，求得b=2. 带入检验正确，所以12为1728的立方根。
元代数学家朱世杰（1249-1314）在《四元玉鉴》中但在贾宪的基础上添加了两层，并将各数连以两组平行斜线（图2）。可见，朱世杰已经十分清楚贾宪三角的构造方法。
到了明代，数学家吴敬在《九章算法比类大全》(1450)中、王文素在《算学宝鉴》(1522)中、程大位(1533~1606)在《算法统宗》(1592)中都沿用了贾宪三角. 其中，王文素在其《算学宝鉴》中给出贾宪三角形的构造方法：“欲识廉隅递益生，直斜二上并分明。便知其下廉隅数，变化无穷照此行。”程大位在《算法统宗》中也说明了由贾宪三角的构造方法。
至此，关于”贾宪三角形“的研究就没有新的突破，其实中国数学在宋朝达到顶峰后，就江河日下了，明朝有名的数学家甚至都不能透彻的理解高峰期的一些数学成就。后来代梅文鼎《少广拾遗》称之为“七乘府算法”（1692年）；清代孔广森《少广正负术》称之为“诸乘方乘率表”；焦循《加减乘除释》称之为“古开方本原图”；刘衡《筹表开诸乘方捷法》称之为“开方求廉率图”；项名达《象数一原》称之为“递加图”。伟烈亚力《数学启蒙》称之为“倍廉法表”；李善兰《垛积比类》称之为“三角垛表”。近代中算史家李俨称之为“巴斯噶三角形”，但根据《永乐大典》指出“巴斯噶三角形”最早由贾宪使用。著名数学家华罗庚，在1956年写的一本通俗读物《从杨辉三角谈起》，将贾宪的《开方作法本源》称为“杨辉三角”，首次将“巴斯噶三角形”回归宋代数学家名下；此后的中学数学教科书和许多数学科普读物都跟随之。另一方面，专业的中国数学史著作，都用“贾宪三角”这个称呼。
在穆斯林国家
12世纪阿拉伯数学家阿尔·萨马瓦尔(A-Samawal)在其《代数之光》中记载，10世纪的波斯人Al-Karaji（阿尔·卡拉吉，约953–约1029）已熟知算术三角形的构造方法，如下图所示，每一列中的任一数等于上一列同一行中的数及其上面一数之和。Al-Karaji给出了二项式系数的第一个公式和帕斯卡三角形的第一个描述。他还因发现二项式定理而受到赞誉,可惜原著已失传。后来波斯诗人-天文学家-数学家奥马尔·海亚姆 (Omar Khayyám ,1048–1131) 重复了这句话；因此，这个三角形在伊朗也被称为Khayyam 三角形。
数学家Al-Samaw'al（约1130-1180）在19岁时写下了数学论文al-Bahirfi'l-jabr，他还使用了数学归纳法的两个基本概念，但没有明确说明，他用它来向读者展示可以将二项式定理的结果扩展到n=12 的方法和先前由al-Karaji给出的帕斯卡三角形。即
13世纪数学家阿尔·赞加尼(a-Zanjani，?一1262)在其《代数学中的方程平衡》中记载了七次幂的展开式，我们从中可知，作者十分熟悉阿尔·卡拉吉和萨马瓦尔的有关数学著作.
l3世纪，著名数学家纳绥尔丁(Nasir al--DinaTusi,1201~1274)在其《算板与沙盘算法集成》(1265)中也利用二项式定理来开高次方，他将奥马·海牙姆的算术三角形扩展到了12次。
15世纪，另一位数学家阿尔·卡西Al-Kashi,1429)在其《算术之钥》(1427)中给出算术三角形的造表方法，并给出直到九次幂的算术三角形，如下图所示.
在印度
几个世纪以前，对数字的讨论是在印度的组合学和二项式研究的背景下发展起来的。从后来的评论看来，二项式系数和生成它们的加法公式，,在公元前 2 世纪或之前为Pingala所知。虽然 Pingala 的作品仅以片段形式保存下来，但约505年的评论员Varāhamihira对加法公式进行了清晰的描述，并且Halayudha于975年左右对同一规则进行了更详细的解释。Halayudha还解释了对Meru-prastaara的晦涩引用，即须弥山的阶梯，这是对这些数字排列成三角形的第一个幸存描述。大约在公元850年，耆那教数学家马哈维拉给出了二项式系数的不同公式，使用乘法，等同于现代公式. 1068 年，前 16 行中的 4 列由数学家Bhattotpala给出，他是第一位有记录的数学家，将这些数字的加法和乘法公式等同起来。
（Meru Prastaara (मेरु प्रस्तार) 用于印度手稿，源自 Pingala的公式。来自 Raghunath 图书馆 J&K 的手稿；公元755年）
在欧洲
西方最早提出这一数字三角形的是13世纪学者约丹努斯Jordanus de Nemore，国籍不 详)，在他的一部著作《算术(De arithmetia)的手稿（约1220年）中就给出一个11行的数表并指出构造方法。约丹努斯在书中利用算术三角形构造了若干等比数列，实际上分别相当于①......
二项式系数由法国数学家Gersonides在 14 世纪早期使用乘法公式计算得出。16世纪，算术三角形逐渐为欧洲数学家所知．德国数学家和天文学家阿皮亚努斯（Ｐ．Ａｐｉａｎｕｓ，1495～1552）于1527年出版的商业算术书的扉页上呈现了算术三角形（下图），这在西方印刷出版的数学书中属于首次．
1544年，德国数学家斯蒂菲尔（Ｍ．Ｓｔｉｆｅｌ，1486～1567）在《整数算术》中给出直到１７次的算术三角形（下图），并引入“二项式系数”这一术语．
翌年，德国数学家舒贝尔（Ｊ．Ｓｃｈｅｕｂｅｌ，1494～1570）在《数与各种比例》（1545）中给出直到１６次的算术三角形［７］（下图）．
数十年后，德国数学家提尔菲尔德（Ｔｈｉｅｒｆｅｌｄｅｒ）在其《算术》（1587）中也给出了直到九次的算术三角形（图１２），形状与舒贝尔的相似．
意大利数学家塔塔利亚（Ｎ．Ｔａｒｔａｇｌｉａ，1506～1557）在《数量通论》（1556）中给出算术三角形，下图所示。
意大利人为纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚，称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）
意大利数学家卡丹（Ｇ．Ｃａｒｄａｎ，15001～1576）在 《比 例 新 作》（1570）中、邦 贝 利 （Ｒ．Ｂｏｍｂｅｌｌｉ，1530～？）在《代数》（1572）中各自如下图所示．卡丹发现了算术三角形的一个性质，相当于 ; 卡丹还建 立 了 算 术 三 角 形 与 组 合 数 之 间 的 联系，并得出结论，从ｎ个物品中一次１个、２个、…、ｎ个的取法总数等于
１
，与①等价．
16世纪法国数学家佩勒提埃（Ｊ.Ｐｅｌｅｔｉｅｒ，1517～1582）、荷兰数学家斯蒂文（Ｓ．Ｓｔｅｖｉｎ，1548？～1620）都在其算术著作中给出了算术三角形． １７世纪，荷兰数学家吉拉尔（Ａ．Ｇｉｒａｒｄ，1595～1632）在其《代数新发明》（1629）中、英国数学家奥特雷德（Ｗ．Ｏｕｇｈｔｒｅｄ，1574～1660）在其《数学之钥》（1631）、布里格斯（Ｈ．Ｂｒｉｇｇｓ，1561～1631）在其《对数算术》（1633）中均载有算术三角形。
法国数学家布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1653年）首次将二项式系数表称为“算术三角形”，并对其性质作了系统的研究,给出了算术三角形的１９条性质，值得一提的是，帕斯卡运用了今日的数学归纳法．
1.
2.
3.将算术三角形第n+1条底边上从一端数起的第r+1个单元与组合数 联系起来，得到组合数公式
4.明确提出ｎ次幂二项式系数恰好是算术三角形第ｎ＋１条底边上的各单元，于是建立了正整数 次幂的二项式定理:
5.利用算术三角形求自然数诸次幂和。
6.
7.第n行的数字和为
......
帕斯卡作为一个集大成者，所以西方人把”算术三角“称为”帕斯卡三角“。
赌金问题
1７世纪末，法国数学家奥泽南（Ｊ.Ｏｚａｎａｍ，1640～1717）在其《趣味数学与物理》（1694）中利用算术三角形来解决趣味数学问题，如帕斯卡和费马曾经解决过的赌金分配问题．在规定赢五局获胜的情形，甲已赢了３局，乙只赢了１局，赌局因故半途而废，未能最终决出胜负．设想接下来再赌五局，以ａ表示甲赢ｂ表示乙赢，所有可能的情形见下图。于是知甲、乙所得赌金之 比为 ＝26:6＝13:3
推广
牛顿二项式定理
牛顿在1664-1665年间，对任意次幂的二项式展开定理的研究基础上，再加上笛卡尔的几何求斜率的方法，进行扩展深入研究后得出的成果。牛顿不仅给出了二项式系数公式，并且将指数n从整数推广到有理数和负数，但牛顿没有给出证明，大约在150年后，挪威数学家阿贝尔证明了所有复数都成立的二项式定理。牛顿二项式定理使用现代的方法表示为：
++........
牛顿写道：”用这一定理进行开方运算非常简便",例如求的近似值的方法如下：7=9=
则=带入牛顿二项式定理中，取前6项得：
牛顿爵士依据二项式为基石发明了微积分。
18世纪，瑞士的欧拉和意大利的卡斯蒂隆分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理。
19世纪柯西二项式定理。
莱布尼茨多项式定理
莱布尼茨(1646年7月1日－1716年11月14日)提出的多项式定理：
这个式子由n个因式相乘而成的,每个
在相乘时都有m个选择,且每个因式中的a₁或a₂或…都选定后,才能得到展开式的一项。因此,由分步乘法计数原理可知,在合并同类项之前,展开式共有项，其中每一项都是形如：(n₁+n₂+…+=n且n₁,n₂,…是非负整数).
项可以看成：在n个因式中首先任取出n₁个因式,而在这n₁个因式中都是选择a₁,然后再从剩下的(n-n₁)个因式中任取出n₂个因式,而在这n₂个因式中都是选择a₂,…最后从剩下的个因式中都选择相乘而来的。
这样项出现的次数就是它的系数。
因为=因此
上式中n₁+n₂+…+ =n且n₁,n₂,…是非负整数，这个公式叫做多项式定理，它是二项式定理的推广。
多项式定理的本质其实是次数的分配.
的展开式就是把次数n分配给每一个a(由于可以分得0次方,所以每个a分到的次数是非负整数).
展开式中有多少项？(合并同类项后)。
这就相当于不定方程n₁+n₂+…+=n有多少组非负整数解。这是排列组合中的隔板法模型。等价于不定方程①(其中 ,i=1,2,…)有多少组正整数解。现设想(n+m)个无区别的小球依次摆放在一条直线上,从(n+m)个小球产生的(n+m-1)个间隔中,插入(m-1)个隔板,把小球分成m份,依次为x₁,x₂,…个。这时,每一种插入法都对应不定方程①的一组正整数解。而这时,从而不定方程①的正整数解,所以展开式中共有项。
在复数中
e级数
在考试中
比如除以9的余数是多少？
===+8 所以除以9的余数是8.
杨辉三角（帕斯卡三角）扩展
莱布尼茨三角形
在杨辉三角形中，每一项都是其左上方和右上方数字的和．而在莱布尼茨三角形中，每一项都是其左下方和右下方数字的和，例如在第五行中的1/30是第六行二个1/60的和。
杨辉三角形可以用二项式系数来计算，而莱布尼茨三角形也可以用二项式系数来计算：。而且可以用杨辉三角形中的项次来计算莱布尼茨三角形：“每一行的各项是第一项除以杨辉三角形中对应项次的结果”。
若将莱布尼茨三角形中第n行的所有分母相加，其结果会是。例如第3行的分母和为。
特别是的莱布尼茨三角形中的各项可以用以下的积分式表示：
谢尔宾斯基三角形
谢尔宾斯基三角形波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，将杨辉三角形中所有的奇数与所有的偶数以不同颜色涂色的话，可以形成一个类似谢尔宾斯基三角形的图形。
斐波那契数列
将三角形左端对齐之后，沿右斜45度的对角线方向（不改变三角形形状的话则需要按照中国象棋的马的走法）取得的数之和为斐波那契数。
卡塔兰数
将杨辉三角中第奇数行正中央的数减去其左侧（或右侧）第二个数，得到的差为卡塔兰数。卡塔兰数的一般项公式为：
第0项到第19项的卡塔兰数为：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, ...
思考
如果帕斯卡三角形变成三维形式，会有哪些有趣的性质呢？
转自：“遇见数学”微信公众号
如有侵权，请联系本站删除！
