每次在教到六年级《分数除法》这个单元时，总会遇到一类数学问题而困惑，这个困惑不仅是在学生中间有，老师们之间同样也会有。这类问题就是分数除法问题解决中的“归一问题”，学生的困惑是搞不清楚该哪个量归“一”？通俗点讲就是搞不清楚到底“谁”除以“谁”，老师们的困惑是到底该怎么教才能让学生不再有困惑。为了将此类问题讲清楚，笔者近日特意对“归一问题”做了些了解，并将老师们对分数除法中这类问题的几种处理办法做了整理，同时也在自己课堂上进行实践，以便日后改进用分数除法解决问题的教学。
一、何为“归一问题”？
简单地说，在某些具体问题中，解题时需根据已知条件，求出一个单位量的数值，比如：求单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的路程等等，这一类问题统称为归一问题。
例如：已知一辆汽车2小时行驶了160千米，这辆车平均每小时行驶多少千米？这是比较简单的求单位时间内路程的问题，需要将时间“归一”，根据除法的意义，可列式：160÷2=80（千米/小时）
二、如何解决分数应用题中的“归一”问题？
据笔者观察，在日常教学中，老师们一般喜欢通过对比练习来研究分析分数应用题中“归一问题”的解法，从而引导学生顺利解决问题，接下来，笔者将结合自身和教师们的一些教学实践来分析、探讨解决此类问题的不同思路，从而寻求问题解决的最佳途径。
方案1——从整数除法过渡，借助除法的意义来理解
教师从整数除法的意义开始分析，带领学生逐步过渡到分数除法上来解“归一问题”。先举例：
a）小明2小时走4千米，他平均每小时走多少千米？
将时间“归一”，求得时间的1份量。根据除法意义，列式为：4÷2。
b）小明2小时走4千米，他平均走1千米需要多少小时？
依据题意，需要将路程“归一”，除法列式就是：2÷4
于是，教师通过例题对比讲解，使学生对整数除法的意义有了进一步理解，对“归一问题”中“归一”的量也有了深入认识。接下来，教师用类似的方法分析处理下面两个问题：
①小华1/2小时走了4/3千米，他平均每小时走多少千米？
②小华1/2小时走了4/3千米，他平均走1千米需要多少小时？
针对问题①：平均每小时走多少千米？教师引导学生这样想：既然每小时走的路程，那就需要对时间“归一”，于是列式就是：4/3÷1/2，
在问题②中，要求平均走1千米需要的时间，那么，问题是要对路程“归一”，因此，列式就是：1/2÷4/3。
尽管教师带领学生从整数的“归一”方法开始，迁移到分数问题中如何正确进行“归一”，但学生在实际操作中，仍然有学生找不准该“归一”的量，因此在解题中同样出现错误。
方案2——利用数学模型帮助解题
①小华1/2小时走了4/3千米，他平均每小时走多少千米？
教师引导学生通过分析可知，平均每小时走的路程，即速度。于是，依据数量关系：速度=路程÷时间，列式是：4/3÷1/2，
②小华1/2小时走了4/3千米，他平均走1千米需要多少小时？
同样，依据速度模型，先求速度：4/3÷1/2，再求当路程为1千米所用的时间，根据：时间=路程÷速度，因此：1÷（4/3÷1/2），化简为1÷4/3×1/2=1×1/2÷4/3，即1/2÷4/3。
在这里，学生借助速度模型来解分数“归一”问题，从算理上看，学生理解起来较之前要容易，但也有它的局限性。当学生在解决某一类固定问题，比如单价问题、工程问题等，可以利用数量关系模型来解，但当不是某类具体问题，也就是问题中找不到数学模型时，学生解题时就会显得困难。例如下面这个问题：5/8吨玉米可以制成7/20吨淀粉，1吨玉米可以制成多少吨淀粉？学生在解题过程中就不能借助常见数学模型。
方案3——除法与乘法的意义相结合
还有教师是像下面这样做的。
问题①：小华1/2小时走了4/3千米，他平均每小时走多少千米？
这样想：要求1小时走的路程，先看1小时里包含多少个1/2小时，很明显，用1÷1/2，已知1/2小时走4/3千米，那么，1小时走的路程就是：（1÷1/2）×4/3=4/3÷1/2，
问题②：小华1/2小时走了4/3千米，他平均走1千米需要多少小时？可以这样思考：先求1千米里有多少个4/3千米，列式为：1÷4/3，当4/3千米需要1/2小时，因此，走1千米需要的时间就是：1÷4/3×1/2=1/2÷4/3。
笔者发现，在教学过程中，学生先通过对包含除的理解后，将其作为桥梁过渡，再借助乘法意义来解此类问题，学生能完全厘清算理而不费解，而且将除法意义与乘法意义相结合来解“归一”问题似乎也具有通用性。
其实，以上三种解分数“归一”问题的方法，共同之处就是教师带领学生从乘法或除法的意义出发理解算理，最终达到某一个量“归一”。但学生在实际解题过程中总会对以上算术方法存在或多或少的困难。众所周知，算术方法解题就是充分运用加减乘除等，在加法、乘法问题中顺向思考，在减法、除法问题中，培养学生逆向思维，而学生在解分数除法问题时，这种逆向思维方式的突破就显得捉襟见肘。于是，笔者在对前面教学实践的基础上，和学生一起探讨分数除法“归一”问题的第四种解法。
方案4——顺向思考，运用方程法解题
问题①：小华1/2小时走了4/3千米，他平均每小时走多少千米？
学生先设定未知数：平均每小时走x千米，那么，1/2小时所走的路程为（1/2x）千米，由题，很容易找到等量关系并列方程：
1/2x=4/3，从而解方程得到解。
同样，针对问题②：小华1/2小时走了4/3千米，他平均走1千米需要多少小时？学生在设定平均1千米需要x小时后，可知：4/3千米所需时间就是（4/3x）小时，于是得方程：4/3x=1/2，并解方程。
与前面三种方法比较，方程法更容易让学生理解并接受，学生通过顺向思考，寻找到题中等量关系，从而建立方程来解“归一”问题的方式，不仅完全破解了在解决分数“归一”问题时的“谁”除以“谁”的困惑，同时，也充分彰显了方程法解题的优越性，为日后在初中进一步学习方程法解决问题夯实了基础。
转自：“与你同研小学数学教育”微信公众号
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