感悟模型意识
浸润数学思想
以单元整体下的“两端都栽植树问题”教学为例
“植树问题”是人教版数学五年级上册“数学广角”的内容。“植树问题”模型是小学阶段的一个重要模型，是研究“树的棵树”与“两棵树之间间隔数”之间的数量关系问题，其实质就是点与段的对应问题。教材将植树问题分为几个层次：两端都栽、两端不栽、一端栽一端不栽、环形情况以及方阵问题等。具体内容结构如下：
1. 体验模型思想
模型思想不仅是学生理解数学与现实世界联系的桥梁，而且是培养学生推理能力、概括能力和解决问题能力的关键。《植树问题》的教学中，模型思想是一个核心概念，初步让学生体会如何将实际问题抽象为一个数学问题，然后利用数学工具进行求解。
2. 探索有效方法
解决植树问题重要的方法是画线段图，这种方法不仅可以帮助学生直观地理解问题，而且可以培养他们探索解决问题的能力；运用对比法分析不同类型的植树问题，可以深入理解这些问题之间的异同，从而更好地掌握植树问题的解决方法。
3. 培养应用意识
植树问题有许多变式，教学过程中，用植树问题的方法来解决这些实际问题，可以让学生更好地理解和掌握植树问题的模型思想，培养他们实际应用意识和创新思维。
五年级的学生已经有了一定的绘图、计算和观察、推理能力，也掌握了一些基本的探究方法。学生对实际生活中的问题有极大的好奇心和求知欲，有利于完成本节课的学习。部分学生第一次接触植树问题，也有解决的办法。总的来看对于“植树问题”学生具有较高的学习起点。上楼梯、敲钟等生活中的问题，其本质就是运用植树问题的模型解决问题。由于情境的改变，学生找不到不同情境中“间隔数”和“棵数”，运用植树问题的方法灵活解决生活中的实际问题有一定难度，教学中如何将植树问题的模型在学生的脑海中打下深深烙印是本节课的难点。
《数学课程标准(2022年版)》在“学段目标”的“第三学段”中提出“尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决”。“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”。“数学广角”单元教学内容的目的不是教会学生机械的公式和抽象的模型，而是让学生体验探索建立模型的过程和数学思想方法，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。
理清教材脉络，把握知识之间的本质联系，让学生体验知识的形成过程。五年级学生的思维，正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，在大单元理念下先聚焦“两端都栽”这一方案着重研究，探讨这一情况下植树棵数与间隔数的关系，让学生通过摆一摆、画一画，得出“棵数比间隔数多1”的结论。接下来，引导学生用“一一对应”的思想方法进行分析推理，抽象出“两端都栽”的点段模型。建立数学模型的目的是要应用模型解决实际问题，通过感受生活中不同的“植树问题”，如安装电线杆、摆放花盆、广场上的钟声等，让学生从“树”的具体思维定势中解放出来，进一步与生活原型链接，感受数学在日常生活中的应用，体会数学的价值。有了本节课的引领，其余各种情况的植树，让学生举一反三，运用类似的方法去找到规律。
大单元整合教学可以更好地发展学生的学科核心素养。在教学中，教师要对单元进行整体分析，形成单元整体学习规划，精心设计真实问题情境，组织深度探究的学习活动，引导学生全身心积极参与、体验成功、获得发展，最终真正实现从学科教学走向学科育人的教育目标。
两端都栽植树问题
1.在摆一摆、画一画、想一想、说一说等实践活动中发现间隔数与植树棵数之间的关系。
2.在小组合作、交流中，进一步理解间隔数与棵数之间规律，并解决简单的植树问题。
3.在学习活动中，体会数学与生活的密切联系，锻炼数学思维能力，体验数学思想方法在解决问题上的应用，感受日常生活中处处有数学，进一步激发学生学习和探索的兴趣。
引导学生在观察、操作、交流中探索并发现间隔数与棵数之间的规律并能运用规律解决实际问题。
让学生理解和经历从实际过程中抽象出数学模型的过程，感悟数学思想方法。
一、创设情境，激趣导入
从欣赏公园的美景，渗透环保意识（绿水青山就是金山银山），到为美化校园成立各种环保小分队，想参加小分队就要闯关，想闯关成功就要掌握所学知识，从而激发了学生学习新知识、掌握新规律的热情。
【设计意图：联系生活实际，结合教学内容对学生进行了环保意识的渗透。让学生带着目的和任务去学习和探索，增强了学生学习的积极性。】
二、联系实际，理解关键词
由学生站队学生之间的空隙叫间隔，引入间隔数、间隔长，也就是本节课的关键概念，再让学生找生活中有间隔的现象，手指之间、课桌之间、路灯之间、树与树之间，从而引入课题。
【设计意图：从熟悉的生活现象去寻找数学问题，初步感知间隔数与物体个数的关系，学生在轻松的活动中为新课的学习作铺垫，同时渗透数学从生活中来、数学离不开我们生活的道理。】
三、任务驱动，初步感知
提出任务：“绿化小分队”为了美化校园环境，要在学校小路一边植树，需要准备多少树苗呢？要知道树苗棵数需要哪些条件？先独立思考，再交流。
【设计意图：在帮助绿化小分队解决问题这个任务的驱动下，学生的学习是主动地，思维是积极的。在学习中学生也能整体感知到植树问题有关的量是：路的总长、间隔长、间隔数、棵数。】
四、化繁为简，探索规律
从为了顺利进入环保小分队必须找到植树问题中的规律，到要想探索出规律，可以从数据小的入手，化繁为简去研究，再到出示问题后路的一边和路的两端结合图的讲解解环环相扣，突破了难点。在小组合作中通过摆一摆、画一画，议一议，逐步探索出两端都栽的植树问题规律：
棵数=间隔数+1，
间隔数=总长÷间隔长。
【设计意图：培养学生的探索精神，渗透化繁为简的思想。】
五、灵活运用，成功闯关
完成各个环保小分队的闯关练习，就是灵活用两端都栽的植树的规律解决问题，其中有求棵数、间隔数、 间隔长、总长的各种练习。在情境中去完成闯关练习，学生在享受成功的喜悦的同时，也感受到生活中处处有数学。
【设计意图：培养学生审题能力、灵活运用知识的能力。】
六、总结规律，建立模型
通过让学生找生活中的植树问题，楼梯问题、敲钟问题、让学生建立植树问题的模型。思考问题时找到什么相当于树、棵数、间隔数、间隔长、总长，结合给的条件，分析求出问题的答案。
【设计意图：抽取比较有代表性的“植树问题”，作为数学模型研究，总结这一类问题的解决方法和策略，让同学们在快乐中轻松地学习知识，感受数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。】
这节课创设了为通过各种环保小分队的考核，先要探索规律，后再闯关练习的教学情境。在这个情境下，两条线索同时在进行。一方面是一条知识线，也就是探索规律，运用规律解决问题；另一方面是一条环保教育线，从习总书记的绿水青山就是金山银山，到想去参加环保小分队，再到板书环保意识渗透其中，切实去践行教书育人。
转自：“安阳市小学数学教学与研究”微信公众号
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