分享 | 李丽，中学高级教师、朝阳区数学学科骨干教师、北京市日坛中学实验学校项目式教研组长
01
课标中的数学大单元教学
2022版义教数学课标，对单元整体教学有这样的阐述：
丰富教学方式，积极开展项目式学习等教学活动；
重视单元整体教学设计；
注重情境设计与问题提出，加强知识间的内在关联；
促进知识结构化。
可以发现，新课标所体现的，是改变以课时为单位的教学设计，从而推进单元整体教学设计，体现数学知识间的内在逻辑联系（横向联系与纵向联系）。
以分式为例，在横向联系上，我对比了各种教材版本：
（1）人教版教科书（八上）的内容是学习分式和最简分式的概念、分式的基本性质、分式的约分与通分、分式的加减乘除运算、整数指数幂的概念及运算性质、分式方程的概念以及可化为一元一次方程的分式方程的解法和应用。
（2）北师大版教科书（八下）的内容是认识分式、分式的乘除法、分式的加减法以及分式方程。
（3）北京版的教材和华东师范大学版的教材在教学内容的安排上和人教版、北师大版的教材基本相同。
人教版和华东师大版教材，都突出了以实际问题为背景列出分式方程，人教版给出的实际问题，是轮船顺水逆水的航行问题，华东师大版给出的实际问题则和工作效率相关。它们统一的设计意图都是通过建立实际问题的数学建模，引出分式的概念和分式方程的概念。
从学生的认知来看，我们其实是先学习了倒数的认识和分数除法，分式的除法中涉及到了分式的乘法的相关概念，接着还学习了分数的加法和减法，包括同分母分数加减法、异分母分数加减法、分数加减混合运算、打电话问题，还有分数的基本性质等等。这些相关内容都是按照分数单位、认识分数、分数性质、分数运算进行阐述的。
在纵向联系上，初中教材也是通过实际问题列式，以引出分式，分式的学习也类比了分数性质的学习，来研究分式的基本性质，从而产生了相关的分式的运算。学完分式的运算，最终还要回归实际问题，实际问题会引发列方程，列完分式方程后，通过整式方程的转换，以整式方程的解，检验分式方程的解，最终完成对实际问题的解。它也是从分式的认识、分式的运算、分式方程几个方面来进行，类比了分数的学习。等量关系的建立，产生了方程。代数式中有整式，也有分式，研究分式也是从概念、性质、运算、应用几个领域展开，对于应用而言，实际问题引出的就是分式方程。
通过刚才的示例分析，可以看到单元整体教学就是整体分析了数学内容的本质和学生认知规律；合理整合教学内容，分析主题-单元-课时的数学知识和核心素养；确定单元教学目标，落实教学目标，逐步培养核心素养。
02
基于数学本质的单元教学设计与思考
下面就以平行四边形为例，进行大单元设计的分享。
（1）平行四边形的数学本质
平行四边形的数学本质，从研究思路来看，就是促进学生有逻辑地进行思考。从四边形特殊化和现实情境入手，明确定义并用符号表示——从定义出发。对于研究性质，从定义出发，定义是研究问题的逻辑起点，必要条件尽可能多。研究判定，定义的内涵可以作为判定，充分条件尽可能少。应用，就是进行逻辑推理与解决问题。首先，让学生理解如何研究图形，接着从定义、性质、判定到应用，让学生进行有逻辑的思考。
从研究内容来看，要做到内在逻辑结构的一致性，就像研究分数和分式一样，研究四边形、平行四边形，可以类比三角形的研究思路，一般三角形的相关要素到特殊三角形的组成要素边、角继续特殊化，得到等腰三角形和直角三角形。同样，研究四边形、平行四边形，也是从一般四边形到特殊四边形，从组成要素和相关要素的位置关系和数量关系进行探究。
从研究方法来看，体现了观察（测量）、猜想、证明。平行四边形问题转化为三角形问题，三角形问题也可以转化为平行四边形问题（三角形中位线、直角三角形斜边的中线是斜边的一半）。
从研究精神来看，研究精神主要是为了整合、创新，体现为思想方法：从一般到特殊（从一般的四边形到特殊的四边形，从一般的三角形到特殊的三角形）、公理化思想、逻辑推理、几何变换、转化的思想。三角形的知识转化到平行四边形，四边形也可以用三角形的知识来解决，做到逻辑体系的一脉相承。
（2）平行四边形的单元教学实践
平行四边形大家族（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的定义，到性质，到判定，再到应用，遵循了逻辑思考的过程。
基于单元为主线的设计，需要关注的是，图形是怎么来的、为什么这么定义、性质和判定是、从哪些角度研究平行四边形。在育人价值上，就是用几何图形研究方法构建平行四边形逻辑体系，发展学生系统结构抽象能力、直观想象和逻辑推理能力。
单元教学实践之情境篇。注重情境设计，也是对大单元整体教学的一个内涵要求。如下，通过两个问题，可以从生活情境中抽象出数学图形，然后进行逻辑推理，找到相互关系。
单元教学实践之任务型前置作业篇。可以让孩子们自制平行四边形，体会图形的变化。因为我们学校也进行图形计算器的相关研究，所以我们也用图形计算器来辅助教学，通过进行一些相应的证明，引发学生的兴趣。
单元教学实践之内在逻辑篇。可以让学生架构知识内容结构。比方架构三角形的研究过程，类比四边形的结构研究。同时也可以通过图形特殊化，理解平行四边形如何从四边形转化而来。当学生再遇到一个新的图形，他也可以以类似的逻辑思维去认识新图形。
单元教学实践之内在推理篇。逻辑推理也是核心素养之一，平行四边形的转化过程中，可以以平行线的视角来研究，也可以辅以对角线形成全等三角形进行研究，不同的研究思路带来不同的解法，思路也会更加开阔。
本质上，不添加辅助线，用到的是同旁内角互补、同角补角相等的知识；如果添加一条对角线，用到的是内错角相等，证明三角形全等，则对边、对角相等全部得出；如果添加两条对角线，可以形成四个三角形，通过全等三角形推出对角线互相平分，由此推出平行四边形是中心对称图形。同理，什么叫中心对称图形？中心对称图形的本质是什么？可以让学生继续去探究，把内容进行结构化的处理。
从性质出发，结合“属+种差”的概念，猜想逆命题，然后结合图形、文字、符号三种数学语言，进行“判定”。这种研究思路可以让学生体会性质和判定之间的关系、命题和逆命题之间的关系。进而，就可以讨论矩形判定的猜想依据，既可以以四边形+条件来判定，也可以以平行四边形+条件来判定。学生可以逐步体会，既然可以给四边形加某些条件，使之产生矩形，那么菱形、正方形是不是也可以这样研究？从图形的组成要素来看，边、角、对角线都是重要的要素，延伸一下，可以提问同学们三角形内部有哪些重要的线。在研究四边形时，我们引入了特殊的四边形平行四边形，平行四边形继续特殊化可以形成矩形。四边形形成了内在逻辑的一致性，当学生拿到一个新图形时，也可以以类似的思路研究这个新图形具备哪些性质。
以菱形为例，当菱形的角特殊为60°和120°时，会产生等边三角形；当角特殊为90°时，会产生正方形。正方形既具备菱形的性质，也具备矩形的性质。
此外，也可以从几何变换的角度旋转得到相关图形。从等腰三角形到等边三角形，从等腰三角形到等腰直角三角形，都经历了边或角的特殊化。找到他们内在之间的联系，就是单元整体教学中谈到的“整合”，整合的是数学思维，是问题的研究方法和思路。
单元教学实践之转化篇。在下面这道题中，通过三角形中点得等位线，判定对角线互相平分，可以联想到平行四边形的构造，也就是已有的知识和现在学的知识发生联系。想证明DE是BC的一半，可以用截长补短。我们刚刚学习了平行四边形的性质，那E这个中点就不仅局限于可以形成中线，它还可以成为对角线的交点。利用平行四边形的性质，可以得知一组对边平行且相等，那么解决这个问题用到的就是平行且相等的知识。
接着看矩形。
矩形中也蕴含了直角三角形，把这个特殊的图形单独拿出来，就出现了斜边的中线，直角三角形中也蕴含了矩形的相关知识。这样的思路就是从整体到局部，从矩形整体关注对角线相等，再局部到直角三角形，由一个中点想到中线，继续挖掘直角三角形斜边中线与斜边关系。整体到局部，然后再回到整体中研究。它的本质就是用四边形研究三角形，由四边形发现分离出来的三角形有什么特殊性，借助矩形的判定和性质，证明三角形的问题。
单元教学实践之应用篇。我们也让学生进行了相关的一些研究，学生有折纸的，有用圆规画圆的，学生通过简单的验证，可以积累基本的活动经验，增强参与感，提升课堂效果。
我以课本上一道矩形的例题，让学生去体会，60°带来了哪些特殊性。从整体到局部，再回到整体中解决问题，同时一题多变，多角度观察，发散思维，提出问题，提高对知识掌握的灵活性。
对平行四边形的探究，对应到核心素养的培育上，有以下几点：
核心素养之一，数学抽象。指通过对数量关系和空间形式的抽象，得到数学研究对象的过程。主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表达。
课本上有这样一道题，学生在做的时候就出现了一些难点。对已知条件内涵理解不透，不知道中点怎么用、直角怎么用。学生可以得到∠1和∠3的关系，做辅助线的方法为什么是截取，应用到的其实是角平分线的方法，出现了特殊的135°。证明线段相等，严格来说还是回归到三角形的全等，但是明显△ABE和△ECF不全等，再观察会发现出现了特殊的135°，就可以利用中点的特殊性构造全等三角形，135°和45°相关，45°和等腰直角三角形相关，这样就一步步把图形进行特殊化。
在这道题中，还可以让E点动起来，看结论是否发生改变，这就和中考中的几何动点问题发生了联系。这道题也可以从代数的角度去思考，角为45°时，直线方程的K是正负1。通过一点改变，也让学生去体会变中是否有不变，体会点在运动过程中， AE=EF 关系不变的关键是什么，可以从外角平分线45°下手，同时还要拓展几何与代数之间的融合，135°联想45°，进而构造等腰直角三角形。
通过对题目的一步步改编，加深学生对这个问题的理解。
核心素养之二，直观想象。几何直观，是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析解决问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，解决问题。
核心素养之三，逻辑推理。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。一类是从特殊到一般的推理，推理形式是归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要是演绎。
反思之知识传授篇。在讲平行四边形的时候，我们充分地利用了在线教学+小组合作+小组展示，对基础差的学生以讲解为主，对基础比较好的学生可以补充教学内容，从而拓展相关思路。
我们也要抓住每节课的数学本质：
1）从边、角、对角线研究；一般到特殊的逻辑推理方法
2）观察（策略）、猜想、（借助几何画板，动手操作、图形计算器，人人会基本操作）证明，包含三种数学语言的互译如何做到详略得当
3）适时结合图形，利用研究问题方法进行看图说话
4）学生课后录制讲解小视频，增加讲解力度，及时发现问题
反思之思维篇——课前梳理。可以从图形生成的角度，来研究这个问题。
反思之思维篇——开放性题目。比如，抛出一个引子：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是什么？可以由学生提出问题，随机叫同学回答。
反思之思维篇——图形变换。平行四边形是一个中心对称图形，可以由△ABC 沿AC中点旋转180度得到。那么可以联想到，证明三角形的中位线也用到了中心对称这个本质特征。平行四边形还可以由线段AB沿AD方向平移AD的长度得到，那么可以得出平行四边形对边平行且相等的性质。
菱形和正方形类似。
从三角形到四边形，它的研究方法体现了数学学科内在的逻辑关系，是对类比这一数学思想方法和科学研究方法的渗透。基于学生小学平行四边形的学习经验，和此前关于三角形的学习经验，引导学生借助三角形的研究方法来研究四边形，归纳出四边形的研究思路、研究方法、研究内容，尽可能让学生去理解几何图形的研究规则。单元整体的目的在于把这个思路一脉相承地贯穿下来，增强对问题的理解，促进同类思维下的不同性的发散思维。同时，也渗透了几何直观或证明过程中蕴含的数学思想，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
03
基于项目式学习的一次函数的单元教学设计与分享
项目式学习注重培养学生在真实情境中综合运用知识解决问题的能力，强化学科内知识整合，重构设计综合课程和跨学科主题学习，它和单元整体教学有一脉相承的一点，即注重情境设计，它最本质的核心驱动问题就是聚焦真实问题，产生项目的学习目标。大单元整体教学也依托了大单元教学、主题化、项目式学习等综合性教学活动，体现核心素养目标。
对于数学项目式学习，《义务教育数学课程标准（2022年版）》也提出：
项目式学习用数学方法解决现实问题为主，其目标是引导学生发现和解决问题的关键要素，用数学的思维分析要素之间的关系并发现规律，培养模型观念，经历发现、提出、分析、解决问题的过程，培养应用意识和创新意识。
以一个小案例来简单说明。
核心问题：如何网购一双舒适的运动鞋
目前，有一个新开的鞋厂邀请你设计不同尺码的鞋，为了更大程度地保证鞋子的舒适度，请你制定一个鞋长与鞋号之间明确的对应关系，同时，还有哪些因素也制约着脚的舒服度呢，请你继续探究以保证鞋的舒服度。
这个问题情境来自于学生设置。在这个真实背景下，我们也设置了相应的学习目标：
1）通过网上搜索资料进行数据分析，以独立思考小组交流与合作，找到脚长与鞋号之间的变化规律；经历利用直角坐标系列表、描点、画图，用图像的形式呈现变化规律（有时间可以用图形计算器进行验证）。
2）在学习探究的过程中，通过知识小链接经历数学与生活的紧密性。
3）培养在独立思考的基础上，能够尊重理解他人的意见，并学会与他人合作的能力，在合作中体验成功的喜悦，树立信心。
课堂任务：
1）网上搜索资料，通过数据分析探究脚长与鞋号之间的变化规律：利用直角坐标系列表、描点、画图，用图象的形式呈现变化规律；再用图形计算器拟合图象进行验证。
2）利用拟合好的数量关系式和图像解决实际问题。
有小组选定了如下的脚长与鞋号的对应关系。
先在图形计算机上进行呈现，然后手画，在手画的时候，很多同学画出来的图象是经过圆点的，但是图形计算器画出来的不经过。这个认知冲突就为学习新知提供了预报，接下来要学习函数的概念、函数的图象、正比例函数的概念与图象、一次函数概念与图象。
驱动性任务为：
1）通过数据分析，探究脚长与鞋号之间的变化规律。
链接知识点：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2）利用直角坐标系列表、描点、画图，用图象的形式呈现变化规律；再用图形计算器拟合图象进行验证。
（小贴士：a把自变量与函数的每对对应值；b分别作为点的横、纵坐标；c在坐标平面内由这些点组成图形。）
3）一个男性篮球运动员的脚长为282厘米，他该穿多大号鞋？
研究完函数的相关知识后，就要解决实际问题。知道脚长之后，去计算鞋号。
4）你的鞋号是几号，对应的脚的尺寸是多少？量一量你的脚长验证是否吻合。
这里的挑战性任务是如何测量脚长、脚宽，可以激发学生的研究兴趣，而且可以增加和实际生活的联系。
学生把脚长和鞋号的数据呈现在了图形计算器上，解析它们之间的相互关系，就引入了新的知识——待定系数法。同理，脚宽与鞋码的关系也类似，学生就能独立去研究，研究过程中，学生还有了新发现，他们发现脚长与鞋号，脚宽与鞋号之间的两条线是平行的。随着学习的深入，学生的创新意识也逐渐增强，增加了对正比例函数和一次函数的对比，对图形平移的观察。
数学核心素养也就是在说明，经过数学教育，到底要培养什么样的人。我们要用数学的眼光来观察现实世界，体现为数学抽象与直观想象；要用数学的思维来思考现实世界，体现为逻辑推理和数学运算；要用数学的语言来表达现实世界，体现为数学模型、数据分析。学科核心素养是通过教师的教与学生的学来实现的。项目式的教学活动，以及利用图形计算器进行研究这些，都蕴含着学科育人。
转自：“中小学老师参考”微信公众号
如有侵权，请联系本站删除！
