【单元教学研究】理解“单位” 实现“一致性”

2022版义务教育数学课程标准对内容进行结构化整合，沟通知识之间的联系，实现一致性，达到融会贯通，配合国家“双减”政策，实现“少而深”的教育，培养学生核心素养。安阳市南漳涧小学规模小，同头班少，六个年级数学教师的共同备课，更容易实现大观念下知识的整合，实现了解知识的前世今生，理解知识一致性的目的。在六年级进行基本性质内容复习时，安阳市南漳涧小学数学教研组教师跨年级，从整体上关注五大基本性质，发现五种性质都是在研究变化中的“不变”，变化是永恒的，不变的才是真理。这么多的不变中隐藏的是什么？为什么不变？带着问题，带着对新课标的理解，重新审视小学数学教材，发现运用“单位”这一核心概念，可以把看似复杂的数与代数中五大基本性质之间的联系打通，实现“一致性”。

分析计数单位的历史

数学因应用而生，又应用于实际生产、生活。所以，我们分析数学产生、应用的过程，就会对数学有更加清晰的认识与理解。

首先，数的产生是实际计数的需要，实物计数、结绳计数到刻痕计数，数字计数……在计数的过程中，随着数的增加，才逐渐有了不同单位的产生。数的发展过程，就是人们根据实际需要不断研究、改进的过程。

一、“单位”随需求变化，是简洁交流的需要  

因为数据增大，用“一”做单位不方便才会有“二进制”“五进制”“十二进制”“二十进制”“六十进制”……直至马克思所说的“最妙的发明之一”：十进制发明。所以，计数单位的发展是随着计数需求的发展而发展的。由小到大，个、十、百、千、万……，由大到小，根据实际选用选择合适的单位，改变计数单位，改写成以“亿”“万”“千”做单位的数，以四位一级或国际通用的三位一级表示，也都是简洁表示数的需求。

二、“单位”随计算变化，是关系表达的需要  

数量的变化引起比较，比较的过程产生多少，倍、比、分率，各种关系的表达需要用到计算，而计算方法的发展看似不断丰富与发展，却在简洁理念指导下体现着一致性，所以，像史宁中教授讲的一样：运算是计数单位个数的累加。

运用除法算理迁移

小学阶段在计算中发现的五种规律：“商不变规律”、“小数的基本性质”、“分数的基本性质”、“比的基本性质”、“比例的基本性质”，看似不同的表达，都是在变化中找不变。而从“单位”的视角来看这些规律，运用史宁中教授的关于除法运算的一致性：计数单位与计数单位相除，计数单位对应的数字与计数单位对应的数字相除，很容易理解为什么不变。变化的是“单位”，不变的是结果，整体来看都是单位的变化。

商不变规律：

140÷20=14÷2，把以“一”为单位的140和20，改成了以“十”为单位的14和2，因为只是计数单位的变化，数的大小并没有变化，所以结果并没有变化。

140÷5=（140×2）÷（5×2）可以把“2”看作单位，这样被除数和除数乘相同的数，实际可以看成是计数单位的个数没有变化，只是计数单位由“一”变成了“二”，而由除法计算的算理很容易推知，乘几实际就是计数单位变成了几，而相同的计数单位相除一定是1，结果永远是原来的计数单位个数相除，商当然不会变。

分数基本性质与比的基本性质都可以像上面那样用单位的变化理解清楚。

小数的基本性质：

      3.4=3.40=3.400，

      3.4即34个0.1，即34×0.1

      3.40即340个0.01， 即 340×0.01

      3.400即3400个0.001，即340×0.001

对比三个算式可以看到，计数单位从上到下依次看是在缩小为原来的十分之一，而计数单位的个数却扩大为原来的十倍，由积的变化规律知道结果是不变的。小数的大小不变是因为计数单位在变化，计数单位的个数在朝着相反的方向做同样的变化。

比例的基本性质：

2:3=8:12 由比例的意义可以知道，比例是表示两个比相等的式子。比值相等，所以这两个比一定是符合比的基本性质的，像上面的比例，就可以表示成2:3=2a:3a，也就是等式右边的比是等式左边比的前项和后项都由单位“一”变成了单位“a”，也正是因为这样，內项积等于外项积才会相等。

沟通了五种基本性质之间的联系，数学书又由厚变薄了许多。按照瞻前顾后、左顾右盼的要求，数学教师的思考却变得更有厚度了。

思想决定高度，观念决定行动。在新的课标课标理念指导下，结合教学实际，深入思考，实现“一览众山小”的感觉，才会实现“少而深”的教育。

转自：“安阳市小学数学教学与研究”微信公众号

如有侵权，请联系本站删除！