新课标在小学阶段增加了尺规作图的内容，这引起了广大小学数学教育工作者的关注与思考。为什么在小学阶段要增加尺规作图的内容？有什么样的教育价值和意义？如何在教学中落实好尺规作图的具体要求呢？带着这些疑问，我专访了马云鹏教授、吴正宪老师。
一、尺规作图的价值和意义是什么？
访谈者：对于新增加的尺规作图内容，不少教师产生了疑问：尺规作图原来都是在中学学习的，为什么新课标在小学阶段增加了这个内容呢？请两位老师解读一下吧。
马云鹏：在小学阶段增加尺规作图内容，重要的是让学生感受数学的严谨性。小学数学的几何内容绝大部分是直观几何，而直观几何是描述性的。如在验证“三角形内角和是180°”时，一般都是把三角形的三个角撕下来拼在一起变成一个平角。由于实际撕拼过程中存在误差，往往拼出来的只是一个近似的平角。但到初中阶段需要学习欧几里得几何，而欧几里得几何是一个严谨的论证体系，是完全合乎逻辑的演绎过程。所以在小学阶段，引入尺规作图的主要目的是让学生通过“如何作一条线段等于已知线段”等这样简单的作图问题，感受数学的严谨性。目前小学阶段常规的作图方法是用尺子量，如先量出已知线段的长度（如3.5厘米），然后画一条与已知线段等长的线段。但是在测量的过程中会有误差，测量出的3.5厘米不一定准确；换一个地方作图时，也会产生误差，因此，画出来的线段与已知线段可能不完全一样。引入尺规作图，则可以极大地减小作图过程中产生的误差。
吴正宪：是的，尺规作图能让学生在作图中感悟数学的严谨性。我执教的“周长的认识”这节课上有一个环节：取与已知三角形ABC的三条边等长的线段后，依次相连地放在同一条直线上（见图1）。学生是怎么做的呢？一个学生用两根食指指向线段AB的两个端点，小心翼翼地量得AB边的长。然后用同样的方法分别取与AC、BC边等长的线段，将它们首尾相接依次排列成一条直线段。虽然是小心翼翼，但学生还是感觉到“用手比画的时候，两只手不由自主地动了一下，结果就不准确了，得到的线段会与原线段有误差”。那么，如何保证取下来的线段与原来三角形的三条边一样长呢？有没有更好的办法和更合适的工具呢？
我鼓励学生寻找更好的工具（无刻度直尺、圆规）来帮忙，有的学生拿起圆规，将两只脚分别对准三角形一条边的两个端点，再移动到直线上……在尺规作图的过程中大家感悟道：“只有把圆规手柄处捏紧，移动过程中线段的长度才不会变。”在这样的过程中，学生不仅感受到了尺规作图的严谨性，也体悟到了线段的可加性。事实上，不是教师告诉学生数学具有严谨性，而是学生在亲自参与具体活动的过程中感悟到用手比画是不准确的，有了“尺规”工具就能比较准确地作图了。
访谈者：两位老师的分享让我明白了小学阶段增加尺规作图的必要性。那么，尺规作图具体指什么呢？该如何理解尺规作图呢？
马云鹏：尺规作图主要是指用无刻度的直尺（或者不看直尺的刻度）和圆规进行作图。圆规的功能绝不仅仅是用来画圆的，没有学到圆的内容时也是可以使用圆规的。在尺规作图中，首先，用圆规的两只脚对准已知线段的两个端点，圆规两只脚之间的距离就是这条线段的长度，即使不知道这条线段的具体长度是多少，用圆规量出的长度也是确定的；其次，在另外一个地方作与这条线段等长的线段时，需要保证动作的稳定性；最后，会得到一条与原线段同样长的线段。这样作出来的线段误差要小得多，从而让学生感知数学是严谨的。在用尺规作图的过程中，其实是不需要知道线段的具体长度的，只要按照作图的步骤完成就行了。
吴正宪：马老师讲的这个观点我深有感触，小学的尺规作图并不是中学阶段严格意义上的尺规作图，不是把原来的直观几何变成严谨的几何证明。主要目的是通过使用没有刻度的尺子、圆规，让学生做中学、创中悟，玩一玩、画一画，在亲自动手的活动中有新的发现。如学生在进行尺规作图时，惊喜地发现“直尺和圆规的配合居然就能画出一个与原来一模一样的图形”，从而感受到数学原来这么有意思，体会到尺规作图的价值，激发学习的兴趣。
访谈者：听了你们的解读，我对尺规作图有了基本了解。两位老师能否进一步说明一下尺规作图的教育价值是什么？
马云鹏：尺规作图除了可以让学生感悟数学的严谨性，还有助于学生形成几何直观。在用尺规作图时，学生要经历以下过程：一是要考虑用尺规作图的关键是什么，作出的图形是什么样子的，这就培养了学生的空间想象力；二是要明确作图的步骤，知道每一步该做什么、该如何做，才能完成作图的任务；三是要将作图的过程完整且清晰地表达出来。上述过程对学生来说挑战是比较大的，在完成的过程中，不仅可以培养学生的动手操作能力，也有助于学生形成几何直观和推理意识。
吴正宪：的确如此。比如在引导学生探索“三角形三边关系”时，除了根据具体数据来判断三条边是否可以围成三角形，还可以启发学生用尺规作图的方法来探索，并尝试解释“任意两边之和大于第三边时可以围成三角形”的道理。教学中，可以鼓励学生先想象一下：三条线段一定能围成一个三角形吗？可能会出现什么情况？老师可以进一步引导学生用尺规作图，作图前要想一想作图的步骤，并在作图中展开想象、推理。在不断试错、调整中，学生不难发现：当任意两边之和大于第三边时，两弧在底边外相交于一点，可以围成三角形；当两边之和等于第三边时，两弧的交点正好在底边上，不能围成三角形；当两边之和小于第三边时，两弧无法相交，找不到交点，不能围成三角形。
在亲自动手做一做中，学生直观感悟到“三角形任意两边之和大于第三边”的性质，尤其是在不断地画图找两条弧交点的过程中，学生会有更多新发现、新感受、新惊喜。
访谈者：吴老师的这个例子让我感触颇深。平时老师们在教学“三角形三边关系”时，也会拿着小棒让学生探索，尤其是两边之和正好等于第三边的情况，因为小棒的粗细不同，在拼摆三角形时，学生总会争论不休，有的认为能拼成，有的认为拼不成。通常情况下老师会借助多媒体课件消除这个争论，但学生还是一知半解，而尺规作图可以非常直观地让学生明晰“三角形任意两边之和大于第三边”。
马云鹏：是的，用已知的三条线段作三角形，这个任务看似简单，但学生在完成的时候并不容易。首先,学生要构思这样的三条边围成的三角形大概是什么形状；其次,确定作图的步骤，先作一条边，也就是选择一条线段作为底边，这样就确定了三角形两个顶点的位置；最后，确定第三个顶点的位置，而第三个顶点位置的确定学生是需要费些功夫的，需要在不断的尝试、试错、调整中，发现第三个顶点在两条弧线的交点处。这个过程不仅体现了尺规作图的严谨性，也让学生在找点的位置的过程中，感受到学习的乐趣，发展几何直观与推理意识。
吴正宪：是的，学生寻找交点的过程特别有意思，有的学生因为画的弧比较短，一时找不到交点，干脆放弃了画弧，另辟蹊径；有的学生则借助直尺分别以底边的两端为顶点不停地画射线，期望在众多射线中找到第三个顶点；还有的学生在画弧的过程中，不经意间有了交点，懵懵懂懂地就把三角形画好了，但是不能清晰地表述画图过程。这个时候，特别需要教师和学生一起反思，复盘刚才的作图过程，鼓励学生不仅要把作图过程中遇到的困惑说出来，还要把调整的过程及感受表达出来，这是发展学生几何直观和推理意识的极好契机。
二、在教学中如何把握尺规作图的具体要求？
访谈者：尺规作图作为小学数学中的一个全新内容，对教师的教学、学生的学习都有一定的挑战性，在教学中如何把握尺规作图的具体要求呢？
马云鹏：在新课标中，对尺规作图的内容要求、学业要求、教学提示都有明晰的表述。如在第二学段“图形的认识与测量”内容要求中提到“会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段”，在学业要求中提到“经历用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上的过程，直观感受三角形的周长”，在教学提示中提到“在认识线段的基础上，引导学生用直尺和圆规作给定线段的等长线段，感知线段长度和两点间距离的关系，增强几何直观”。再如，在第三学段教学提示中提到“要引导学生经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，探索三角形任意两边之和大于第三边”。这些要求都是教师在教学中需要认真把握的。
吴正宪：在教学中，我们要根据学生的实际情况，进行整体性、循序渐进的设计。尺规作图的教学，我认为重点不是把尺规作图当作一个知识点教会学生作图，而是要引导学生亲身经历动手操作的过程，让学生在“做中学”的过程中，多一点儿主动尝试，多一点儿自我反思，多一点儿直观体验，多一点儿感知感悟，多一点儿创造与惊喜。
如在第二学段，我们可以先让学生学习用直尺和圆规作等长线段。在作图的过程中，让学生初步形成对图形的感知，体会两点确定一条线段的意义，初步学会使用圆规的同时，知道圆规的两脚可以确定线段的长短，体会这个过程中是不需要读刻度的，感受用尺规作图的神奇和好玩。
教学中，不要让学生背诵作图的步骤，也不要让学生跟着老师亦步亦趋地模仿画图，重要的是鼓励学生自己在不断“试画”的过程中，发现问题、不断调整，兴趣盎然地做一些有意义的探索。
如唐彩斌老师带领团队探索用尺规作等边三角形，学生在作图过程中发现，仅仅用直尺作图，不仅会有误差，而且关键是不能很快确定第三个顶点的位置。而用圆规的两脚叉开对准已知线段的两端，就可以很快确定三角形边的长短，准确且方便。最让学生感到惊喜的是，分别以已知线段的两个端点为圆心，以已知线段的长为半径分别画弧，两弧的交点就是该三角形的第三个顶点。这样作图不仅能减少误差，而且能很快画出符合要求的等边三角形。在这个过程中，学生不仅体会到尺规作图的价值，还发展了想象力和推理意识。
访谈者：谢谢两位老师的分享。关于尺规作图，一线老师还有一些困惑：原来在小学阶段到六年级才开始使用圆规，而新课标要求从第二学段就开始学习尺规作图，调整后该如何整体设计这部分内容，才能让教师好教、学生好学呢？
马云鹏：在进行尺规作图整体教学设计时，要遵循新课标的内容要求、学业要求，根据学生的生活经验和学习基础，循序渐进，逐步带领学生走向深入。首先，可以让学生学习用直尺和圆规作等长线段，并建构各种可以实现的图形；其次，可以在周长的学习中，尝试通过作图认识三角形的周长，让学生直观理解什么是周长，在作图的过程中，感受线段的可加性；最后，可以尝试让学生通过作图理解三角形，用尺规作以给定的三条线段为边的三角形，使其在作图过程中明白，只要两条弧相交于底边以外就可以作成三角形，直观感受“三角形任意两边之和大于第三边”，并在这个过程中，用“两点之间线段最短”这个基本事实说明数学命题的正确性，发展推理意识。
吴正宪：在进行教学整体设计时，根据学生的年龄及经验基础，学习过程大体经历以下三个阶段：
一是经验积累阶段。主要是帮助学生认识工具（直尺和圆规），尝试使用工具，在此过程中，体会到用无刻度的直尺可以画直线，用圆规可以画出弧线。要让学生利用尺规玩起来、做起来，鼓励想象创作，激发使用尺规作图的兴趣，了解尺规作图的发展过程，体会数学文化的价值和意义。
二是用尺规作图阶段。主要是让学生探索如何利用尺规作图，如作一条与给定线段等长的线段，或者将三角形的三条边首尾相接地画到一条直线上，直观感受三角形的周长以及线段的可加性。在作图的过程中，要鼓励学生不断尝试、调整、思考与交流，不仅会作图，而且能清晰表达自己的观点及作图的过程，从而激发学生学习的兴趣和信心，发展想象力、几何直观和推理意识。
三是拓展应用阶段。在学生基本掌握了尺规作图的方法后，可以按照新课标的要求，让学生探索如何用尺规作等边三角形。还可以鼓励学生发挥想象，用尺规作出不同样态的三角形，体会“三角形任意两边之和大于第三边”的道理，从而提升学生尺规作图的能力，让学习深度发生。
访谈者：在具体教学中，两位老师有什么建议呢？
马云鹏：尺规作图这个内容是全新的，在学与教的过程中有一些困惑或困难是在所难免的。我觉得对于这个内容的教学要把握好方向，那就是要注重学生几何直观和推理意识的培养。在教学中，要鼓励学生不断地尝试、调整、反思与交流，引导学生把自己的想法说出来，清楚表达作图的过程，而不是发现学生有困难就让学生照着画，教师教一步学生跟着画一步，这样就失去了设计尺规作图这个内容的初衷，发挥不出尺规作图的价值。
吴正宪：我们团队在研讨的过程中也遇到过一些问题，如学生不习惯使用圆规画弧线，不习惯使用无刻度的直尺画图。这时候需要教师有耐心，要尽力为学生营造一个探索、开放的空间，不要急着推进教学，而是留下足够时间让学生用尺规随意画图。画着画着就有感觉了，错着错着就有方向了，不急！
马云鹏：在教学中，建议老师们鼓励学生保留作图的痕迹，这样在不断尝试、调整的过程中，引发学生的思考，发现“凑点”与“画弧”之间的关系，帮助学生发现自己的问题所在，为进一步规范作图打下基础。
访谈者：谢谢两位老师！你们的分享，让我进一步明晰了尺规作图在小学阶段的教育价值和意义，以及该如何去实施教学。我们应该引导学生通过尺规作图，在做中学、创中学，提高学习兴趣，发展几何直观和推理意识，以更好地为未来的学习奠基。
（访谈者单位：河南省第二实验学校小学部）
本文刊发于《小学教学》（数学版）2022年第12期
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