扎实全面，灵动拓展
——2023年广东省初中学业水平考试数学试题的教学启示
作为教育教学指挥棒（评价）中占主要地位的中考试题在导教导学中的作用巨大。一份无惯性模式、基础知识覆盖全面、反映学生真实数学水平、体现教师教学能力与态度的中考试题，能更好促进教师反思及优化教学思想、改进教学方式。
2023年广东省初中学业水平考试数学试题（以下简称“中考试题”）是近年来对东莞比较“友好”的中考试题，这种“友好”不仅是体现在从学生到家长、从街头巷尾到网络平台、从初中数学教师到高中学校都相对平静，还是首个完整年度以《义务教育数学课程标准（2022版）》（下称“课标”）备考后的第一个中考，为有效改进教学提供重要参考。
01
试 题 赏 析
一、较好兼顾学业水平和选拔择优功能
相对于2021试题的“过难”和2022年试题的“过易”，今年的难易程度还算比较合适。按照成绩能达到普高线左右的学生水平，将题目难度分三个层次：易、中、难，则对应的题号及层次所含分值（占比）如表1所示：
难度
题号
分值
（占比）
易
1、2、3、4、5、6、7、8、9、11、12、13、16
46分（38.3%）
中
14、17、18、19、20、21、23（1）
46分（38.3%）
难
10、15、22、23（2）（3）
28分（23.4%）
表1
其中第17、21题属于中档偏易的题目，第10、15题属于中难档题目，第23（3）难度较大。基本能实现七成左右的学生在学业水平角度实现合格（≥72分），四成左右的学生能达到优秀（≥96分），能选拔出不足半成数学学习卓越（≥110）的学生。
二、依标命题，既全面又灵动
1. 依据课程标准所规定的内容要求命题
今年有一些题目不是近三、四年的热点考题，但感觉考查得更全面了（如表2）。如第6题的黄金分割数的普及优选法作用、第14题的利润率公式（含对“折（扣）”的数字转化）、第16题的纯数值运算、第18题应用三角函数解决实际问题、第21题统计图表中的折线图。都是课标的要求、都应该掌握、都可以通过考查监测学生学习情况。基本实现课标中“各领域考查内容所占比例与其在课程标准中所占比例大体一致, 难易程度大体平衡”的要求。
大题
题号
考查内容
大题
题号
考查内容
一、选择题
1
具有相反意义的量
三、解答题（一）
16
（1）实数运算
2
轴对称图形
（2）求一次函数解析式
3
科学记数法
17
分式方程应用题
4
平行线性质的应用
18
等腰三角形与解直角三角形实际应用（应用三角函数解决实际问题）
5
分式运算
6
黄金分割数
四、解答题（二）
19
平行四边形中，尺规作图与解直角三角形
7
概率
8
解不等式组
20
立体图形展开图与勾股定理逆定理的综合与实践
9
圆周角定理的推论
10
二次函数与正方形
21
数据收集、整理、分析的应用
二、填空题
11
因式分解
12
二次根式运算
五、解答题（三）
22
圆的有关性质、矩形的性质、轴对称性质、三角形全等、勾股定理或三角函数等
13
反比例函数应用
14
一元一次不等式的应用
23
正方形性质、相似、全等、一次函数的图象与性质、二次函数解析式、动态问题等
15
用相似三角形性质求面积
表2
2. 依据课程标准所规定的课程目标命题
课标确立了核心素养导向的课程目标，体现数学实用性，切实落实初中数学核心素养的“三会”，因此可以发现今年中考试题中基于情境的题目有所增加（如表3）。课标对“学业水平考试”中的试题命制中有“创设合理情境”的要求：根据考查意图，结合学生认知水平和生活经验, 设计合理的生活情境、数学情境、科学情境，关注情境的真实性，适当引入数学文化。
情境
题号
生活情境
2、3、4、7、14、17、21
数学情境
1、6、19、20
科学情境
13、18
表3
3. 据课程标准所规定的素养立意命题
今年的中考试题落实了以核心素养为导向的考试命题要求：
（1）注重考查学生的数学思维与逻辑能力。减少了依靠死记硬背、机械刷题能获得高分的可能。如第22题，将学生常练的“翻折”条件（如图1）改为“对称”条件，使得不少考生被第一个小题弄得猝不及防。
图1：人教版八上第十三章《轴对称》
（2）关注通性通法、学科基础知识的原理。只要重视对数学概念、性质、关系、规律的理解、表达和应用，重视对数学素养的积淀质量就能解决“难题”，如借助“运算能力”的核心素养表现及“以点的坐标求函数解析式及表示线段长”的通法可以解决23题第三小题（如图2）。
图2
（3）鼓励创新思维，在解题效率上体现区分度。学科能力和素养的差异不仅是体现在能否解决问题，还体现在能否因地制宜找出更便捷的方式解决问题，如第10题（如图3）。本题通法是在正方形性质的基础上，设A、B、C点中的两点含参数的坐标，通过运算得到含参数的抛物线解析式。既然如此，何不直接用特殊值法，降低运算难度，提高解题效率与精度？
图3
（4）落实“教学评”一致性，凸显导教功能。依然存在“重教辅，轻教材；重研题，轻研教”的现象，这就导致中等及以上层次的学生在做本卷的第14、17题的结果不太理想。但这些题目的原题就在教材，相似度极高（如图4）。若在教学过程中重视教材的内容，恪守“应教尽教，学足学好”的教学要求，应该会有不一样的结果。
图4
即便是第23题，也是将北师大版九年级上的第21页的例1、第90页的第4题以及人教版九上的第60页例子整合、改编而成。
三、仍可优化，兼顾全面
一是试题总体难度的预设与具体得分，可以找到更好的平衡。东莞教育可以看作是广东教育的缩影：具备优势，欠缺均衡。若中考试题能让珠三角地区、粤东西北地区、优质学校、薄弱学校、普通初中、重点高中等基本满意，那么试题在考查能力结构方面可以参考：基础知识与基本技能（考查要求为“了解”层次）的题目所含分值占比应超过50%；基本思想、分析和解决简单问题的能力（考查要求为“理解”、基本“掌握”和简单“应用”层次）的题目所含分值占比应有30%；将基本活动经验迁移、提出问题、分析和解决复杂问题的能力（考查要求为“掌握”和“应用”层次）应低于20%。而且这种预设必须建立在对学情的把握、学生的思维习惯等方面的基础上。如第22题第一小题，命题者或许认为学生较为容易根据点的对称性质、矩形对角线的性质得到三角形的两边的中点，“易得”三角形中位线，借中位线的性质得到垂直，但大部分学生是很难将这两个知识点迁移在一起应用的。
二是作为本次中考命题的重要亮点——情境与知识的自然融合可以加强。如第1题中《九章算术》的知识背景，完全可以使用其中所描述的负数概念，可改为：负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果把卖马和牛得到的5贯钱算作+5，那么买猪所花的2贯钱算作 ；第2题中出版社的商标不是学生所熟悉的；第6题的情境描述像是考查了“优选法”而非黄金分割数，可以从黄金分割数的作用与价值方面进行常规考查；第18题从严谨的角度上应该还要交代取“精确值”的另一个原因——两臂并非在同一平面内。
三是较多题目与过往试题相似度过高。若中考试题与存量试题相似度较高，有变相鼓励教师或学生刷题的倾向。其中比较关键的中难档题目，如第10题是2006年安徽省芜湖市中考数学试题和教辅的原题（见图5）；第15、20题则为2005年安徽省芜湖市中考数学试题的第16、21题。
图5
总的来说，2023年广东省初中学业水平考试数学试题是自2020年之后，又一套让笔者感觉值得精研、细品的一套好题。相信这套试题能更好地体现“以考导教”的课改导向价值。
02
教 学 启 示
一、落实“四基”，锻炼“四能”
初中数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验是学生学习活动占比最大的内容，也是学生开展“四能”锻炼、拓展高阶思维、培育“三会”核心素养的重要基础，必须扎实。如第14题：某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打_______折．
在这个题目当中，学生能通过利润率公式（本题的核心知识），求出以不低于原价的88%销售即可实现其利润率不能少于10%，但不少学生未能准确表达出来。第14题中考查的“表达的规范”，在小学是一个基础知识（如图6所示）、在初中是一个基本技能，同时也是义务教育阶段数学“三会”中“会用数学语言表达现实世界”中一个很细小、很基础的一个点。回归到对“8.8折”与“88折”的争议，那么这个就是对“数感”这个课标关键词（小学阶段）的学习落实不够到位了。
图6：人教版六年级下《百分数（二）》
二、依标教学，无需超前
总有老师或家长或学生认为超前（教学）学习能达到降维打击，在中招考试的“抢凳子”游戏中取得先机，但这种“加量”的做法往往伴随着“降质”——仅教与学了知识“是什么，怎么用”，而对知识延伸的内涵原理、思维的灵活创新、能力的迁移拓展都会打折扣，不利于固化根基。如在第20题中(如图7），使用初中的知识与经验，容易借助格子图和勾股定理，分别求出AC、BC、AB的长，再根据勾股定理逆定理确定∠ACB=90°、AC=AB就可以得到等腰直角三角形，∠CBA=45°。而使用高中数学中三角函数的正切公式:
进而得到∠DBC+∠ABE=45°，也可以得到∠CBA=45°。然而，两者的思维要求是不一样的，后者是否有足够的时间让学生深入理解勾股定理、勾股定理的逆定理以及正切公式？把正切公式记下来，经过若干题目训练，学生应该可以应用该公式解题，但这个时间是基于对初中知识间的融合、创新等分析、综合、评价和创造的高阶思维的损耗上。
图7
三、立足教材，应教尽教
教材是最好的教学设计，是最好的教学实施指导指南。若不研读教材，容易忽视或错误认知学科知识架构、不尊重学生认知规律。这些都是没有以“学生为中心”的教学行为，不正确，需要纠正。与去年比较，今年有更多题目选自教材内容（如表4），但从学生卷面上反映出来的结果却差强人意。
题号
教材版本
位置
1
人教版
七上第一章《有理数》“阅读与思考”“数学活动”
4
人教版
七下第五章《相交线与平行线》“习题”第1题
6
人教版
九上第二十一章《一元二次方程》“阅读与思考”
13
人教版
九下第二十六章《反比例函数》“习题”第4题
14
北师大版
八下第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》“随堂练习”第1题
15
北师大版
九上第四章《图形的相似》“复习题”第18题
17
人教版
八上第十五章《分式》“习题”第8题
18
人教版
九下第二十八章《锐角三角函数》“习题”第2题
19
人教版
八上第十三章《轴对称》例1
22
人教版
九上第二十四章《圆》例1
表4
课本是课标落实的载体。建议老师在备课时，先阅读教师用书，弄清课本的主题图、例题中每个问题、每句话蕴含的意图，明白每道练习题所要达成的目标。弄清楚教材“有什么”之后，再想想“为什么（这么编写）”，以及“是什么（作用和价值）” ，再确定教学目标、重难点，结合学情，设计切实可行的教学流程。
四、确立核心素养导向的课程目标
1. 教·学“有用的数学”。即落实“三会”：用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界。这与2019年教育部出台《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》（首次取消考纲）提出的“充分考虑城乡学生学习和生活实际，增强情境创设的真实性、典型性和适切性，提高试题情境设计水平”相关要求一致。
2. 选择符合学生认知规律的课程内容逐步落实素养教学。数学作为基础学科有成熟的架构体系，教师价值在于温故知新式地启发学生促进数学的生长；学生的学习收获不仅是知识的灵活应用，还包括知识形成过程（的逻辑）、学习获得的经验、对学科学习不减的兴趣等；对教学内容的教授不是传递，而是基于学生个体学情的数学元素积累或构筑的方式下，学生得到发展。
3. 数学化的认知分类活动可以有效培育核心素养。数学教学就是一个设计并推进数学活动的过程，可以分为个体类：听讲、观察、思考、计算、直观想象、推理、探索；也可以分为群体类：猜测（质疑）、实验、实践、验证、数据分析、合作交流。旨在引导学生在真实情境中掌握“四基”、锻炼“四能”、培育“三会”（核心素养的九个表现）。
五、整体把握教学内容
1. 采用大观念下整体教学设计。先说“教学内容与核心素养的关联”，核心素养的培养并非可以空中建楼阁，是基于教学内容（四基）和教学方式（四能）的点滴积累。落实教学内容结构化，即系统化、层次化。如东莞初中数学高效课堂的“五步教学法”：温故知新→思考探究→举一反三→融会贯通→画龙点睛；又如概念教学的基本流程（如图8）：
图8
2. 选择能引发学生思考的教学方式。 数学教学的过程可以认为是学生通过主动、积极参与教师设计（随实际可灵活变动）的数学活动而获得四基，锻炼四能，培育九素养的过程，所以教学方式要多样。整体教学设计有助于学生从旧知识生长出该学习的新知识、对旧知学习过程中“四能”的迁移、有效积累素养。
核心素养是基于教学内容（四基）和教学方式（四能）的点滴积累，而教学内容蕴含在情境当中。“问题提出”是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的“四能”的链接中心。
六、既教书又育人，培养全面发展的人
1. 充分发挥数学学科的育人功能。让学生人人都学“有用的数学”“有趣的数学”“有发展的数学”，归根结底都是让学生热爱数学（如图9），从“能学，愿学，乐学”进而“学会，学好，会学”，这样才能从根本上解决学生“加强自我监控、自我评价，提升自主学习能力”的主动学习、终身学习的关键问题。
2. 提高命题能力，构建发展性评价体系，永葆学生学习兴趣。数学教学离不开“题”。题，是初中数学教学中的一个元素，是承载初中数学“四基”“四能”“三会”的基础载体，其形式不仅是例题、习题、试题等传统的“数学题”，还包括置疑、质疑、提问、追问等形式能给予学生思考、回答、研讨和实践的相关问题或问题串，以及在主题活动和项目学习中待解决的问题。命制适合的题能让学生在不同水平层次中能思考、能回答、能满分，并且在聆听高一层次同学回答过程中有收获。
如《二元一次方程组》章节复习中，请学生观察式子x+y=10，问学生：你看到了什么？
又如中考复习“圆的切线”内容时，将教材的（问）题进行改编（如图10）。都能活跃课堂、引发学生思考，在表达、聆听等学习活动中夯基、拓展。
转自：“东莞市初中数学场域教研交流”微信公众号
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