无论是学生全面发展的促进还是学生核心素养的培育，都有赖于一种更具整合性的教学样态，大概念（big ideas）则为整合性教学提供了一个新的理念和方法[1]。张丹、于国文提出：大概念既包括对数学内容本质的理解，以及所学内容形成中所体现出来的数学思想方法或思维方式，还包括在内容及过程基础之上对数学教育价值的追问，是内容、过程和价值的融合[2]。北京市小学数学团队以小学数学课程内容中的“图形与几何”领域为例，把该领域重组为“认识图形”与“测量图形”两个板块，提炼了“认识图形”板块内容的五条大概念并进行了内涵解析[3]。本文在此基础上做了后续研究，结合“测量图形”板块和“常见的量”提炼出了小学数学课程中有关度量内容的五条大概念，阐释其内涵，从而为后续整体设计单元学习任务奠定基础。（注：由于“度量”和“测量”意义相近，本文对二者不加区分）
一、有关度量内容的大概念
度量可以分为两类：第一类是数的度量，需要通过抽象得到度量结果，是人思维的结果；第二类是生活中常见量的度量，需要借助工具得到度量结果，是人实践的结果[4]。本文谈的是第二类度量。在这个范围内，度量指用一个带单位的数值来描述可测量物体或现象的某一个属性，从而形成某个具有特殊含义的“量”[5]。这些量在我国小学数学课程中，有的分布在数与代数领域，如质量、时间等，称为常见的量；还有的分布在图形与几何领域，如长度、面积、体积、角度，也叫几何度量。由此共同构成了我国小学数学课程中有关度量的内容。我们提炼出该部分内容的核心、重要的思想方法和教育价值，体现为以下五条大概念：
大概念1：度量是对现实生活中事物的某些属性大小的刻画。
大概念2：度量的基本方法是同一单位的不断累积，将多个度量单位组合在一起产生了工具，使得测量更加方便。
大概念3：度量方法和度量单位的选取源于实际生活的需要，以及对度量结果精确程度的需求。
大概念4：寻找所度量的属性与图形要素之间的关系可以获得常见图形的计算公式，而转化、类比等提供了运用推理产生新的图形计算公式的视角。
大概念5：以上过程发展了学生的量感、推理能力、直观想象、解决问题能力及创新意识。
这五条大概念，前四条阐述了度量的核心内容及研究的思想方法，最后一条则是这部分内容对促进学生发展的教育价值。
二、有关度量内容的大概念内涵解析
（一）度量是对现实生活中事物的某些属性大小的刻画。
这一条明确了度量的内涵。度量是对事物某些属性大小的刻画，其中包含了两个方面：第一个方面是事物的属性。它是事物能够量化的特性，也就是可以测量的属性。比如，一块石头，可以测量它的质量和体积。意识到事物可以测量的属性是学习度量的第一步。随着不断地学习，学生学习到越来越多的可以测量的属性。比如，测量一个桶，刚开始学生会意识到可以测量桶的高度，慢慢地会关注到桶的表面积和桶的容积。随着数学方法在各个领域中的应用，测量技术与工具的日新月异，越来越多的物体和现象都被发现具有可测量的属性，如，“性格”“智商”“雾霾指数”“幸福指数”等。
第二个方面是属性的“大小”，就是测得的结果。当用一个计量单位测量某一个量时，结果会得到这个量含有计量单位的若干倍，这个数值就叫作这个量的量数[6]。因此，测量的结果是数值和计量单位组合在一起的。比如，测量结果18千克和15小时，计量单位千克和小时分别指向质量的测量和时间的测量，而18和15分别表示质量单位的个数和时间单位的个数，二者组合在一起呈现了被测事物属性的“大小”。
度量刻画的是事物属性的“大小”，其中体会被测事物的属性对于学生是重要的，有时候还是困难的。教学中，需要设计活动帮助学生体会事物可以被测的属性；同时在具体测量中进一步体会被测事物的属性。比如，对于面积，既要设计一些活动让学生感受什么是面，又不要过于纠缠对面的认识，而是在比较面的大小、用单位测量面积的过程中多次体会被测物体的属性。在体会物体属性的基础上，进而明白测量的结果是一个数量。
（二）度量的基本方法是统一单位的不断累积，将多个度量单位组合在一起产生了工具，使得测量更加方便。
测量是把被测量的对象与具有相同属性的测量标准进行比较的过程。因此，测量的过程需要先明确被测事物的属性，然后选择可以度量该属性的单位，其后是通过单位的不断累积得到单位的个数。为了使测量的过程更加方便，产生了测量的工具，如尺子、天平和量角器。
小学教材中有关测量内容的认识过程也遵循了这样的顺序。比如，长度测量的认识过程，首先鼓励学生自主寻找单位，用单位量出个数，得到测量结果；然后交流时发现单位不一样，再统一单位；最后发现每次都逐一数单位的个数有点儿麻烦，就学习尺子，可以不用数单位而是直接看刻度就能知道测量的结果。角的测量也如此。需要强调的是，测量方法的核心是对测量单位的确立，所以寻找单位的过程很重要，教学中一定要放慢从非标准单位测量到标准单位测量的过程，而不是直接进入标准单位的认识。因为用非标准单位测量不仅能够让学生体会单位或标准的作用，感受统一单位的必要性，还能培养学生的创造性和迁移能力[7]。
（三）度量方法和度量单位的选取源于实际生活的需要，以及对度量结果精确程度的需求。
一方面，根据实际生活的需要，对测量单位的属性和大小进行选择。测量时，学生首先需要判断被测物体的属性，再选择测量单位。比如，看到跑步计时的情境时知道要用时间单位，看到称重的情境时想到要用质量单位，看到解决窗帘用了多少布的情境时知道用的是面积单位。同时，还要根据被测物体的大小选择合适的测量单位，比如，测量楼道的长通常选择米，测量铅笔的长通常选择厘米。
另一方面，选择测量工具和测量方法时，也要考虑实际生活的需要。比如，同样是测量长度，测量胸围尺寸用软尺，测量房间窗户的高度用卷尺或米尺。测量对象的特点不同，选择的工具就会不同。再如，同样是测量地面的面积，所采用的方法也不同，有的可以借助方砖的大小测量出面积，有的可用直尺测量地面的长和宽算出面积。
生活中对测量精确度的要求也不一样，当对精确程度要求不高时，可以借助身上的尺子或身边的物体进行估测；当对精确程度要求较高时，则要选择合适的测量单位、工具和方法。比如，百米赛跑因为时间较短，选用的单位是秒，测量的工具是秒表或电子计时器，一般可以精确到0.01秒；生活中测量降雨量用的单位是毫米，需要用专业的雨量筒和量杯测量，可以精确到0.1毫米。又如，黄金比较贵重，测量的单位是克，测量的工具是精确到0.001克的高精度电子天平。总之，学生要根据实际情况判断需不需要精确值，精确到什么程度，用什么工具。在这样解决问题的过程中，不仅培养学生具体问题具体分析的能力，还能让学生熟悉度量单位，积累对生活中常见物体大小的感觉，形成量感。
（四）寻找所度量的属性与图形要素之间的关系可以获得常见图形的计算公式，而转化、类比等提供了运用推理产生新的图形计算公式的视角。
在几何测量中，不仅可以利用同一单位的不断累积得到测量结果，还可以通过寻找测量的量（如体积、面积）与图形要素之间的关系，得到计算公式。比如，长方形的面积，不仅可以用面积单位测量，数出面积单位的个数，得到长方形的面积；也可以通过找到长方形的长、宽与面积单位之间的关系，长对应一行面积单位的个数，宽对应有这样的几行，进而通过计算（长×宽）得到面积。长方体的体积也可以通过找到长、宽、高与体积单位的对应关系，进而通过计算得到体积。
有了长方形面积计算的方法后，其他平面图形就可以转化为长方形来推导计算公式。因此，教材中学习平面图形面积的顺序是：长方形、平行四边形、梯形、三角形、圆。
还有一些图形的计算公式可以通过类比得到。比如，长方形是长和宽决定着其大小，长方形的面积是二者相乘的积；那么长方体是长、宽、高决定着大小，所以长方体的大小就应该是三者相乘的积。再如，圆柱体积计算公式的产生有两个视角。第一个视角，知道了长方体体积是底面积×高，因为面动成体，长方体可以由相同大小的截面长方形沿着高运动产生，那么圆柱也可以看成是由相同大小的截面圆沿着高运动产生，所以猜想圆柱的体积也可以用底面积×高得到。第二个视角，圆面积计算公式的推导过可以程是把圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的平行四边形；那么，圆柱体积计算公式推导时类比圆的转化方式，把圆柱等分成若干份后拼成一个近似的长方体，就能把新知转化为旧知，从而推导出新图形的计算公式。
获得图形计算公式时，既可以通过用单位测量的过程发现所测量的量与图形要素之间的关系得到公式；还可以利用图形之间的关系，通过转化或类比得到所测量的量与图形要素之间的关系得到公式。前者从测量的本质出发，强化了学生度量意识和量感；后者从图形之间关系出发，培养了学生的直观想象和推理能力。
（五）以上过程发展了学生的量感、推理能力、直观想象、解决问题能力及创新意识。
综上，测量是对现实生活中事物的某些属性大小的刻画，它的核心是寻找单位、统一单位和确定单位的个数，接下来为了解决问题发明和选择工具。根据生活实际和对结果精确程度的需求进行测量单位、工具和方法的选择。在上述内容的学习中，学生将置身于真实世界的情境中，通过丰富的活动感知长短、大小等，在解决实际问题过程中逐步体会测量单位及测量意义，不断发展量感。在寻找图形大小与其要素之间关系时，学生需要多角度转化、类比找到关系形成公式，此过程不仅培养学生的想象能力、推理能力，还培养学生的解决问题能力和创新意识。
三、度量内容大概念对教学的启示
以上五条大概念揭示了度量内容的本质、思想方法和教育价值，为教师整体把握教学内容的一致性和连贯性提供了依据。以几何度量中单位的认识为例，小学阶段需要学习线段的度量、面的度量、角的度量、体的度量。学生在初次学习线段的度量时，经历统一单位的过程，运用一条短线段作为标准进行测量；在面积的学习中经历用一个统一的小面作为标准进行测量；到了角的度量时，学生已经朦胧地意识到应该用一个统一的小角去测量。通过几次聚焦用统一单位进行度量的学习，学生深刻感悟到测量物体某个属性的大小时，需要先确定一个同属性的统一单位作为标准进行测量。等到体积的学习时，学生可以根据以往学习经验，猜想或设计统一的体积单位的形状、大小、进率（如图1）。
由此可以看出，基于大概念的整体性教学，使学生在各学段学习同一主题的概念时遵循着连贯的、典型的学习路径，这样围绕大概念展开的持续性教学，能够促进学生对概念的深度理解和有效迁移。大概念是学科的“核心”，它们需要被揭示，必须通过深入探究才能获得。[8]因此，教学中还需要教师设计高水平的学习任务，让学生亲身体验知识的发现过程和应用价值，感悟其中蕴含的思想和方法，这样才能最终将大概念内化为学生的素养。
参考文献：
[1]李松林.以大概念为核心的整合性教学[J].课程·教材·教法,2020,40(10):56-61.
[2]张丹，于国文. 大观念的研究评介——以数学学科为例[J]. 比较教育学报，2020（2）：137-149.
[3]张丹，张勋. 整体视角下“图形与几何”的研究与实践[J].小学教学（数学版），2020（6）：4-8.
[4]娜仁格日乐，史宁中.度量单位的本质及小学数学教学[J].数学教育学报，2018,27（6）：13-16.
[5]赵炯美，鲍建生. 中小学数学课程中的一条主线——度量[J].小学教学（数学版），2017（10）:8-12.
[6]人民教育出版社小学数学室.小学教师之友系列·基础数学[M]. 北京：人民教育出版社，2020：160.
[7]John A, Van de Walle.Elementary andMiddle School Mathematics:Teaching Developmentally[M].Pearson Education, Inc, 2019: 463.
[8]Wiggins G, McTighe J. 重理解的课程设计（第三版）［M］.赖丽珍,译.台北：心理出版社，2011：73.
【本文系北京市教育科学“十三五”规划一般课题“运用大观念发展儿童数学关键能力的实践探索”（编号：CDDB2020140）的研究成果之一】
（作者单位：北京教育科学研究院，首都师范大学教育学院）
声明：本文刊发于《小学教学》（数学版）2022年第1期
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