以下文章来源于经纬石旁话遥测 ，作者黄谟涛等
本文改编自学术论文《海空重力测量及应用技术研究若干进展》
刊载于《武汉大学学报·信息科学版》2022年第10期
黄谟涛1,2 邓凯亮1 欧阳永忠2 吴太旗1 翟国君1 陆秀平1陈欣1 刘敏3 王许1
1 海军研究院，天津，300061
2 自然资源部海洋环境探测技术与应用重点实验室，广东 广州，510300
3 91001 部队，北京，100830
黄谟涛
教授，博士生导师，主要从事海洋重力场测定理论方法及应用研究。Huangmt@163.com
邓凯亮
博士，高级工程师。dengkailiang036@163.com
摘要
总结分析评述了海军重力研究团队在海空重力测量及应用技术研究领域取得的一些有理论意义和实用价值的研究成果，主要涵盖需求论证与顶层设计、观测数据归算与精度评估、测量误差分析处理与分离补偿、地表观测重力向上延拓、航空观测重力向下延拓、海域重力数据模型构建、地球外部重力场逼近和大地水准面精化等 8 个研究方向，重点从各项关键技术的研究背景、研究思路、难点突破、成果应用前景等几个方面进行了分析和总结，回答了该研究领域涉及理论方法和工程应用的一系列科学问题，为该领域未来发展提供借鉴和参考。
引用
黄谟涛, 邓凯亮, 欧阳永忠, 吴太旗, 翟国君, 陆秀平, 陈欣, 刘敏, 王许. 海空重力测量及应用技术研究若干进展[J]. 武汉大学学报 ( 信息科学版), 2022, 47(10): 1635-1650. doi: 10.13203/j.whugis20210561
海洋重力场是地球重力场的重要组成部分，无论是研究地球形状及相关的地球表面及其外部科学问题，还是研究地壳构造、内部质量分布、运动及变化形态等地球内部科学问题，都需要了解海洋重力场的精细结构。通过精密测定海洋重力场的分布特征，可为地球物理学和海洋动力学研究、全球空间基准精化、海洋资源勘查、航天工程保障、国防建设及海战场环境保障等多个领域提供必不可少的基础信息源支撑。依据所测重力场参量类型和数量的不同，海洋重力场测定有标量重力测量、矢量重力测量和重力梯度测量三大类别之分，本文所指的海空重力测量主要指海空标量重力测量，是指以水面舰船或飞机为载体开展海面及近地空间重力场测定的一种动态重力测量技术，是船载重力测量与航空重力测量的统称。自 1923 年 Vening-Meinesz 使用摆仪在潜艇上成功完成第一次海上作业以来，海洋重力测量无论是测量理论方法还是观测仪器研发，都取得了极大的进展，其测量平台已经逐步从水下发展到海面，又从海面发展到空中，形成了比较完善的海洋重力测量技术体系。
海军重力研究团队(以下简称团队)是中国从事海空重力测量技术及应用研究的主要科研团队之一。从 20 世纪 80 年代初开始，团队始终密切关注国内外海洋重力场探测技术的发展前沿，紧紧围绕外场作业、专题保障和学科发展 3 个方面的应用需求，以不断拓展和完善海空重力测量技术及应用保障体系为研究目标，以海洋重力场信息获取、数据分析处理、数字保障产品研发及专题保障运用等全流程核心关键技术为研究主线，持续开展研究论证、技术攻关和实验验证，先后突破了海空重力测量作业、数据处理及信息融合应用中的一系列瓶颈问题，取得了一批有理论意义和实用价值的研究成果。本文主要围绕团队在海空重力测量需求论证与顶层设计、观测数据归算与精度评估验证、测量误差分析处理与分离补偿、地表观测重力向上延拓、航空观测重力向下延拓、海域重力数据模型构建、地球外部重力场逼近和大地水准面精化等8个研究方向取得的重要创新和成果进行系统性的分析和总结，旨在向读者成体系地介绍团队多年积累的科研成果，为进一步提升海空重力测量技术水平提供有益借鉴和参考。
1 需求论证与顶层设计技术
1.1
观测数据指标需求论证
海洋重力场信息除了在现代大地测量学、地球物理学、地球动力学、海洋学、空间科学等诸多学科领域具有重要的科学研究价值外，在海洋矿产资源勘查、水下潜器辅助导航和海战场环境保障等多个工程应用领域也发挥着非常重要的作用。海洋重力场信息在军事保障领域最典型的应用是面向特定任务平台的惯性导航与制导系统的重力校正与补偿。由于惯性导航系统(iner⁃tial navigation system，INS)无需接收外部任何信号就能提供载体的精确位置、运动速度及加速度信息，具有很强的抗干扰、抗欺骗能力，因此广泛应用于新型飞行载体和潜航器的自主导航及远程飞行器的精确制导。地球重力场信息主要通过 INS 的力学编排方程直接影响导航解的精度。因 INS 传感器观测到的加速度是包含惯性加速度和地球重力加速度的合成加速度，故要想获得精确的惯性导航解，必须对 INS 的力学编排方程进行重力异常场补偿，这是开展海洋重力场精密探测的主要军事应用需求之一。据理论估计，如果不做重力异常场补偿，那么经过 3 天左右的水下航行后，水下潜器 INS 的累积定位误差可能超过 2 km。地球重力场信息对远程飞行器INS 的影响主要体现在两个方面:一是惯性系统平台的初始对准;二是飞行器运动轨迹的精确制导。其中，初始对准包括系统平台置平和方位对准两个步骤，置平是使系统平台对准当地重力垂线，方位对准是指对发射方位施加发射阵位重力垂线偏差改正;飞行器运动轨迹制导的作用机理与飞机和水下潜器 INS 的重力补偿相类同，要想让远程飞行器精准到达目标地位，必须采用制导系统对远程飞行器主动段飞行轨迹进行精准控制，其过程需要提供飞行轨迹上的扰动重力三分量参数。据美军研究资料，1′′的置平误差可引起超过 30 m 的飞行器落点偏差;发射阵位 10′′的垂线偏差可引起 12′′的飞行器射向角误差，从而导致 10 000 km 左右射程的远程飞行器产生大约500 m 的落点横向偏差。此外，运动轨迹上的扰动重力对远程飞行器落点精度的影响最大可达2~3 km。
为了保障特定领域军事应用，特别是海上作战运用需求，世界上各主要发达国家都一致把海洋重力场测定工作作为发展战略武器计划的重要组成部分。早在 20 世纪 50 年代，美军就将掌控海洋重力场信息作为提升海基战略武器作战效能的主要挑战，并于 1957 年开始启动“全球重力计划”项目，统筹各方资源，采用各种技术手段在全球海域开展重力场探测和数据搜集工作，历时 50 余年，至 2007 年美军才对外宣布结束该计划的相关工作任务，并宣称该计划取得了巨大成功，为提升美军水下作战能力作出了重大贡献。为了发展自主的海战场环境保障技术，中国学者也一直致力于海洋重力场信息的军事应用研究和开发，早在 20 世纪 80 年代初，就有学者利用当时数量非常有限的海上观测数据对海洋重力场的变化特征进行过建模研究，并同步开展了海上重力测量作业方案的论证设计工作。同一时期，文献基于统计分析方法推出了面向特定保障任务需求的海洋重力测线布设方案。在此基础上，利用标准弹道计算软件，通过数值建模和仿真计算方法，分析研究了地球扰动引力对远程武器飞行轨迹的作用和影响。进入 21 世纪以后，随着专题保障任务要求的提高，团队不断深化了这一领域的研究工作。首先，充分利用多代卫星测高数据全海域覆盖和均匀分布的技术特性，提出了以新一代卫星测高重力数据集为基础构建海洋重力场变化统计特征基础模型，并采用局部船载重力测量数据修正基础模型的研究新思路，通过海量卫星测高数据的统计分析和计算，首次获得了对应于海底地形 6 种细类别和 4种粗类别的海洋重力场变化特征模型参数，经局部船测重力数据修正后，最终得到一组具有代表性和较高应用价值的海域重力场统计特征模型参数。然后，团队将前期研究成果，也就是该组统计特征模型参数作为海域重力测量作业技术设计的输入控制指标，通过分析研究论证，提出了更加精细化且能够满足专题保障新需求的海面船载重力测量测线布设方案。团队目前的研究进展是，依据新的专题保障要求，利用倒推研究方法，通过对飞行器导航制导方程的分析和仿真计算，定量估计了扰动重力场对远程飞行器落点偏差的影响，论证了飞行轨迹扰动重力场的计算精度指标要求;并以此为基础，通过对重力场计算参数截断误差及数据传播误差的分析和估算，确定了海面区块重力异常的观测分辨率和计算精度指标要求。上述成果通过建立末端应用需求与前端数据保障之间的内在对应关系，全面回答了开展海洋重力场精密探测的应用需求问题。
1.2
观测设备指标需求论证
海空重力仪是海空重力测量的核心要件，其技术性能的高低直接决定海空重力测量成果的质量。海空重力仪的关键技术性能指标体系主要涵盖静态稳定性、动态稳定性和参数标定精度指标等 3 个方面，其中，静态稳定性主要利用重力仪的零点漂移量进行衡量，中国现行海洋重力测量规范对重力仪零点月漂移做出了比较明确的规定，即零点月漂移不得超过 3 mGal，但对月漂移的变化特性只是提出了定性的指标要求，即保持线性变化。显然，这样的规定忽略了零点漂移参数非线性变化部分的不确定性，执行中既不具约束力，也不具可操作性。针对此问题，团队提出将原来的零点月漂移单一指标，拓展为由零点月漂移、月漂移非线性变化中误差和非线性变化限差等 3 个参数组成的海空重力仪静态稳定性评估指标体系，特别增加零点漂移非线性变化部分的限制要求，并通过分析论证给出了 3 个参数的量化指标要求:(1)零点月漂移不超过4.5 mGal;(2)月漂移非线性变化中误差不超过0.3 mGal;(3)月漂移非线性变化最大值不超过0.9 mGal。在此基础上，提出了有效分离海空重力仪零点漂移趋势项、有色观测噪声与随机误差的技术方法 。
关于海空重力测量仪器动态稳定性指标要求，现行作业规范主要从动态重复测量标称精度和实际作业测量精度两个方面加以限定，并统一以中误差作为衡量仪器动态稳定性的唯一评估参数。由于测量动态环境的复杂性，海空重力观测不可避免包含偶然性、系统性及综合性等多种误差成分，因此，使用中误差单一参数作为评价动态稳定性的量化指标，显然不足以全面反映测量仪器的技术性能。针对此问题，团队提出将衡量重复测量标称精度和实际作业测量精度由原来的中误差单一指标拓展为由重力测点中误差、系统差和平均误差等 3 个参数组成的海空重力仪动态稳定性评估指标体系，并通过分析论证给出了 3 个参数的量化指标要求:(1)仪器标称精度优于1.0 mGal，重复线测量互比系统差不超过 0.3 mGal，平均误差不超过 0.8 mGal;(2)海面/航空测量精度优于 1.5/2.0 mGal，交叉线测量互比系统差不超过 0.3 mGal，平均误差不超过 1.2/1.6 mGal。
关于海空重力测量仪器参数标定精度指标要求，现行作业规范并未做出明确规定。其原因是海空重力仪器需要标定的参数很少，涉及的个别参数只能依赖仪器生产厂家在实验室或特定标定场，使用专门的技术手段和装备进行标定，设备普通用户不具备此类参数的检测条件，只能被动接受和采用生产厂家给出的参数标定结果。尽管如此，参数标定误差对海空重力测量数据质量的影响也不能忽视，特别是重力仪格值标定精度及其随时空变化带来的不确定性影响。团队在对多型海空重力仪同机测试数据进行分析处理时发现，有三型重力仪的重复线观测数据呈现比较明显的系统性偏差，在排除了动态环境干扰和效应补偿不完善等各种可能性后，经过分析论证和内外部检核，最终证实三型重力仪的格值标定误差是引起各自重复线测量成果出现系统性偏差的主要原因。针对此问题，团队提出了利用东西正反向重复测线检测并校正海空重力仪格值误差的计算模型和补偿方法，并通过研究论证给出了海空重力仪格值标定的精度指标要求:（1）全球全域作业要求的海空重力仪格值标定相对精度应不低于 1×10−5;（2）局部区域作业要求的航空和海洋重力仪格值标定相对精度应分别达到1×10−4 和 1×10−3。上述研究成果已被纳入新修订的海洋重力测量作业规范。
2 观测数据归算与精度评估技术
2.1
环境效应改正模型改进
观测数据归算是海空重力测量数据处理必不可少的关键技术环节之一，其目的是将重力传感器采集到的包含各类噪声干扰的原始观测数据转换为所需的真实重力场变化信息。数据归算环节主要包括观测动态环境效应改正归算和观测基准面归算两个方面的内容。在海空重力测量作业中，厄特弗斯效应、测量载体运动垂直加速度和水平加速度影响是决定重力观测数据质量的三大主要因素。针对上述三大干扰源，尽管现行的海空重力测量作业规范做出了比较明确的对策要求，并提出了相应的改正方法和计算模型，但现行作业标准采用的某些环境效应改正模型在规范性和完备性两个方面都还存在一些比较明显的缺陷，需要加以改进和完善。
关于厄特弗斯效应改正模型，由于海面船载重力测量航速一般不超过 30 km/h，使用球近似模型的厄特弗斯改正公式即可满足各个应用领域的计算精度要求，故在海面船载重力测量中不存在关于厄特弗斯改正计算公式选用方面的争议问题。但因航空重力测量航速可达 300 km/h甚至更高，在此情形下，使用球近似模型计算厄特弗斯改正数可引起毫伽级的计算误差，所以在航空重力测量中，必须选用更严密的厄特弗斯改正计算模型。为此，国内外学者在航空重力测量技术不同发展时期，推出了不同形式的厄特弗斯改正改进公式，包括早期可顾及飞行高度的Thompson 球面公式和之后能顾及地球椭球扁率的Harlan公式。正确使用这些公式可在一定程度上提高厄特弗斯改正的计算精度，但由于不同形式的计算模型对应不同的适用条件和输入参数，导致国内外用户和技术文献多次出现引用上的差错，国内现行作业规范在推荐使用厄特弗斯公式时也存在比较明显的引用错误。针对此问题，团队通过理论分析和模型推演，导出了厄特弗斯改正的严密计算公式，分析比较了严密公式与不同时期不同形式近似公式的差异和内在联系，指出了相关文献在引用厄特弗斯改正公式时出现错漏的原因，并通过实测数据计算，验证了严密计算公式的可靠性和有效性。
关于水平加速度改正模型，国内外学者在很长一段时间内都未能形成统一的采用意见，其原因是国际上先后推出了两类水平加速度改正模型(也称平台倾斜改正模型)，分别称为一步法和两步法模型，它们有各自的技术特点和适用条件，但很难判别哪类模型更具实用效能上的优势。针对此问题，团队通过理论分析和模型推演，证明了两类改正模型在一定条件下的等价性，量化分析了平台倾斜重力改正的影响规律，给出了明确的模型选用建议。需要指出的是，上述两类计算模型都是在仅考虑测量载体运动水平加速度干扰条件下推导出来的，并未顾及地球引力和科里奥利加速度两个水平分量的影响，因此它们都只是一组近似计算公式。团队发现并指出了两类计算模型存在的这个缺陷，进而推导出能够顾及地球引力和科里奥利加速度影响的严密计算模型，采用航空实测重力数据验证了严密改正模型的有效性，进一步完善了海空重力测量数据处理理论方法体系。
2.2
观测精度评估模型改进
完成数据归算后，对观测数据质量进行评估是海空重力测量数据获取阶段的最后一个环节。如前所述，现行作业规范采用动态重复测量标称精度和实际作业测量精度两个技术指标，对海空重力测量仪器动态稳定性进行评定。作业规范规定了利用交叉测线网数据和内外部检核公式对海空重力测量精度进行综合评估的技术方法和流程，但对利用重复测线测量数据评估海空重力仪器工作稳定性并未做出明确规定，也没有给出相对应的精度评定公式。为了弥补这方面的缺陷，中国地质矿产资源调查部门参照国外仪器生产厂家提供的相关资料，在航空磁力和重力测量行业标准中增加了一组重复测线测量精度评估公式。但是，通过理论分析和推演，发现该组公式的推导过程还不够严谨，推导结果仍存在偏差。针对此问题，团队依据现代测量平差理论，推导出一组通用的、形式统一的多重复测线内符合精度评估公式，同时证明传统的双测线重复测量和交叉测线测量的精度估算公式都是新通用公式的一个特例。此项工作纠正了国内外在重磁重复测线测量精度评估公式使用方面的错误，更为重要的是，采用新通用公式可使海空重力仪器性能评定和观测数据质量评估结论更加客观和真实可靠。
3 测量误差分析处理与分离补偿技术
3.1
观测误差分析与建模研究
观测误差分析处理是抑制海空重力测量噪声干扰、提高测量成果质量的必要手段。自 20 世纪 80 年代初，在作业保障需求的推动下，团队一直致力于海空重力测量误差分析理论方法的研究和创新，经过多年的研究积累，创建并不断完善拓展了海空重力测量误差分析处理技术方法体系。从最初的单测线半系统误差研究到针对大型测线网的常值系统差、有色噪声和白噪声联合平差，随着对海空重力测量误差形成机理认知的提升，团队在不同时期先后推出了与当时测量定位和重力传感器技术发展水平相匹配的误差分析补偿模型，包括早期针对单一测线系统性环境因素影响的半系统差补偿模型;中期针对定位系统单一误差源的有色噪声和白噪声联合影响的交叉测网平差模型，针对定位和重力测量系统两种误差源综合作用的有色噪声和白噪声联合影响的测线网自检校平差模型;后期针对几何场和物理场多种误差源综合影响的不规则测网验后补偿模型，针对特定海空重力测量系统特殊结构设计的动态环境效应剩余影响的补偿模型等，并相应提出了测线半系统差显著性检验及方差分析方法、交叉测网严密解算方法、带权虚拟观测参数平差法、验后两步平差法、互相关分析解算方法等。随着测量装备和信息处理技术的发展进步，团队多年聚焦的海空重力测量误差分析处理技术研究也从起步时的初始跟跑阶段发展到中期并跑阶段和现在的领跑阶段，为全面提升中国海空重力测量技术水平作出了应有的贡献。
3.2
误差分离补偿通用模型
海空重力测量误差分析处理技术研究大多在特定条件下展开，如针对特定的测量作业载体和作业模式，或针对特定的测量作业环境和误差变化特性，或针对特定的测量装备工作原理特点。基于特定条件建立的误差处理模型一般不具有普遍性，不利于大范围推广应用。团队一直在探索构建一种既可适用于各类海空重力仪，又可适应不同作业载体和作业环境的测量误差通用补偿模型，使其能够分离补偿测量仪器自身结构设计和制作工艺缺陷、测量动态环境剩余效应以及数据处理方法和计算模型不完备性综合影响。通过分析著名学者 LaCoste 早年对海洋重力测量交叉耦合效应改正模型形成机理的剖析和推断，发现构建该模型的关键理论支撑是:受动态环境效应影响的重力观测量必然与测量载体的运动状态变化存在关联性，补偿此类误差影响的终极目标是将两者的相关性降为零。将该支撑理论应用于测量误差通用补偿模型研究，经分析研究和测试验证，提出了一种采用载体运动速度、加速度及其相互乘积的线性组合表示、适用于各类特定条件的海空重力测量误差通用补偿模型，并应用信息论中的 Akaike 信息量准则实施补偿模型结构通式优选，利用互相关分析方法进行模型参数估计，应用双重约束条件构建通用补偿模型的优化模型。团队使用多种实际测量环境下的海空重力观测数据对通用补偿模型的有效性进行了试验和验证，均取得了预期的补偿效果，大幅提高了重力观测成果质量及可靠性，使得中国的海空重力测量误差分析处理技术研究水平提升到了一个新高度。
4 地表观测重力向上延拓技术
4.1
地表观测重力向上延拓模型改进
完成观测数据归算、误差分析补偿和精度检核评估以后，海空重力测量数据处理转入涉及多源异构数据融合的数值模型构建阶段，它是海空重力测量成果向后端应用延伸扩展必不可少的关键环节。由于海面(包括陆地)和航空重力测量成果对应不同的数据归算基准面，故数值模型构建环节需要解决的首要问题是数据基准面的转换，包括海(地)面重力向上延拓和航空重力向下延拓两个方面。除数值模型构建应用需求外，航空重力测量仪器性能评估、地球外部重力场逼近和航空(或地面)重力向下延拓迭代计算等相关应用也需要重力向上延拓技术的支持。在实践中，人们通常采用泊松积分公式作为重力向上延拓的基本解算模型，但由于泊松积分是源自狄利克雷边值问题的球面解，并未顾及地形起伏的影响，故该模型只适用于海面重力向上延拓解算。但是许多国内外学者在应用中常常忽略泊松积分的适用条件，将该模型直接应用于陆地重力数据向上延拓解算，从而导致延拓解算偏差。计算区域地形起伏越大，重力场变化复杂程度越高，延拓解算偏差就会越大。移去和恢复地形效应技术可用于减弱地形起伏对延拓计算结果的影响，但无论采用哪一种地形质量调整方式，调整后的重力观测量仍位于地球自然表面，观测量依然不能直接用于泊松积分向上延拓计算，必须事先将它们统一归算到同一个球面或接近球面的规则面。在地形起伏较大的陆地区域，如需利用泊松积分模型获取高精度的重力向上延拓解算结果，难以逾越向下延拓这一关键环节。针对此问题，团队提出了地面重力先向下后向上延拓研究思路。首先，通过非求逆方法将地面重力向下延拓到海平面，包括基于超高阶位模型的高度差分法、位模型加地形局部改正信息的差分法和频谱截断积分方法等;然后，利用球面泊松积分模型实施向上延拓的稳定解算。此外，团队还提出将等效源理论中的点质量方法引入重力向上延拓计算领域，将地面观测重力转换为地球内部的虚拟点质量，通过点质量模型计算地球外部的重力参数。数值计算检验结果表明，要想在全高度段上都能获得稳定可靠的向上延拓计算结果，必须采用非 Newton 逆算子构造的先向下后向上延拓模型。
4.2
地表观测重力向上延拓模型精化
在开展地球外部重力场逼近计算时，团队发现几类常用的积分计算模型，如重力异常向上延拓模型、扰动引力三分量模型、重力异常径向梯度模型等，都无法实现数值计算的精准闭环，即仿真计算结果与理论真值不符，两者偏差远大于预期，特别是在超低空高度段，重力异常向上延拓计算的最大偏差可达几十毫伽。对此，团队开展了理论分析和数值验证，最终证实对全球积分模型改化适用条件的疏忽是问题产生的根源。上述几类计算模型在边界面都存在积分奇异性问题，因此需要采用积分恒等式和移去恢复技术对原始积分模型作去除奇异性处理，这是模型改化的第一步。但原始计算模型是一个全球积分，而人们在实施工程化计算时，通常只有局部区块数据可供利用，故还需将全球模型改化为局部积分模型，这是模型改化的第二步。经过两步改化的模型之所以会出现计算偏差，是因为传统做法在实施第二步模型改化时，忽略了第一步改化使用的积分恒等式适用条件:只有在全球积分域下，该积分恒等式才能成立。当观测数据覆盖域满足不了全球积分要求时，如果不顾及全球和局部两个积分域的差异，势必导致改化模型计算结果出现较大的偏差。针对此问题，团队通过理论推演，推导出补偿两个积分域差异的修正公式，弥补了传统改化模型的缺陷。这项研究成果的意义不限于向上延拓模型解算精度的改善，更重要的是，如果将传统的向上延拓改化模型应用于航空重力向下延拓迭代计算，那么即使迭代过程是收敛的，最终得到的也是一组虚假的数值，并非真实的延拓结果，这是因为迭代过程使用了不完备的计算模型，迭代逼近结果自然不是问题的目标解。数值试验结果表明，加入团队推导的修正公式以后，向上延拓计算和向下迭代解算精度均得到显著提升。
5 航空观测重力向下延拓技术
5.1
航空观测重力向下延拓模型改进与拓展
如前所述，海面(包括陆地)和航空重力测量数据基准面转换包括重力向上和向下延拓两个环节。除数值模型构建应用需求外，重力向下和向上延拓技术在大地测量边值问题解算中还发挥着不可替代的作用，实际上，地球自然表面大地测量边值问题解算和地球外部重力场赋值都可以归结为广义的重力位场向下和向上延拓问题。由于向下延拓是向上延拓的反问题，在数学上属于不适定问题，求解此类反问题存在很大的不确定性，故很难获得稳定可靠的解算结果。为破解这一技术难题，国内外学者提出了不同 途 径 的 解 决 方 案 ， 归 纳 为 以 下 三 大 类 :（1）基于向上延拓泊松积分方程的直接求逆法;（2）以配置法、点质量方法和矩谐分析法等为代表的间接求逆法;（3）以直接代表法、频谱截断法和泰勒级数展开等为代表的非求逆法。团队一直致力于重力向下延拓技术研究，不仅在传统直接求逆法方面做出了创新，而且在非求逆法方面取得了较大突破。
针对传统求逆泊松积分方程正则化方法对重力测量有效信号可能造成过度修正问题，团队提出了重力向下延拓 Tikhonov 双参数正则化方法:通过引入截断参数，将法矩阵奇异值划分为可靠性较高和较低两部分;通过引入正则化参数，对可靠性较低的奇异值进行修正，以抑制高频观测噪声对向下延拓解算稳定性的影响。通过分析研究 Tikhonov 正则化法、截断奇异值法和奇异值修正法的技术特点，团队进一步提出了一种改进的不适定问题奇异值分解法。需要指出的是，尽管使用正则化方法可在一定程度上消弱直接求逆方法的不适定性，但在实施过程中，仍存在许多与正则化矩阵和正则化参数选择相关的不确定性问题需要研究解决，正则化方法在向下延拓解算中的实际应用还远不够成熟和完善，因此有必要寻求更加可靠的解算新途径和新方法。为此，团队借鉴测绘导航领域广泛应用的差分算子概念，提出了一种不依赖观测重力数据、完全依赖外部数据源确定高度改正数的向下延拓新思路，分别针对海域和陆域重力场不同变化特征，提出了直接采用超高阶位模型和卫星测高重力向上延拓信息确定海域航空重力向下延拓改正数的简便计算方案，以及联合采用超高阶位模型和局部地形改正信息确定陆域观测重力向下延拓改正数的精细计算方案。这种完全独立于传统求逆泊松积分方程的方法，不仅巧妙避开了向下延拓反问题固有的不适定性，有效提高了延拓解算精度，还大幅简化了延拓计算过程 ，具有较高的实用价值。
5.2
航空观测重力向下延拓新方法
除了传统的泊松积分模型外，泰勒级数展开式也是一类得到广泛应用的位场延拓计算模型。此类模型的有效性主要取决于延拓参量各阶径向导数的求取精度。文献都曾研究过重力异常高阶径向偏导数的精密计算问题，提出过不同的解决方案和计算模型，但这些模型的完备性、适用条件及其有效性等均有待进一步研究。针对此问题，团队在深入分析研究位场向下与向上延拓内在关联性基础上，提出了利用向上延拓信息精密确定计算参量各阶径向偏导数，进而按照点对点和最小二乘两种方式实施重力向下延拓稳定解算的计算方案。该方案既可有效抑制数据观测噪声对径向偏导数解算结果的干扰，又可避免传统求逆向下延拓模型固有的不适定性问题，因此具有良好的应用前景。
实际上，除了上文提及的间接求解方法外，还可以利用直接积分模型对重力异常高阶径向偏导数进行计算。文献借助调和函数的泊松积分方程导出一组封闭计算公式，依据该组公式，使用观测面(近似为球面)上的重力异常即可直接计算得到边界面上的各阶径向偏导数，不需要进行从低阶到高阶的迭代计算。但是，团队通过数值仿真试验发现，该组公式从二阶偏导数开始无法实现数值上的精准闭环，也就是仿真计算结果回不到理论真值，两者偏差远大于预期。通过进一步的理论分析发现，该组公式计算结果出现偏差的原因可能与积分核函数在边界面不满足连续可微条件有关，也就是不满足求导与积分运算交换次序的基本条件，故不能直接对泊松积分公式进行求导。针对此问题，团队提出将泊松积分方程的核函数表示为球谐级数展开式，并依据各类重力观测经滤波处理后均表现为一类有限频谱带宽信号的特点，将级数展开式截断为与重力观测值频谱范围相一致的带限求和式，进而通过直接求导方法，推导得到一组与带限级数求和核函数相对应的重力异常高阶径向导数带限计算模型。该模型避开了传统模型使用封闭解析核函数在球边界面出现奇异性带来的不确定性问题，可有效提高高阶导数解算结果的可靠性和向下延拓模型的计算精度。
6 海域重力数据模型构建技术
6.1
异构数据模型构建
本文讨论的数据模型是指面向后端应用、以一定地理网格间距表示的三维数据集合。构建此类数据模型需要综合利用陆、海、空、天等多维多源观测数据，同时需要采用多种技术手段，对不同来源、具有不同频谱特征、空间分布和误差特性的离散化数据进行融合处理，以消除不同数据源之间结构差异化带来的矛盾，建立起陆海统一的数据基准。关于多源重力数据融合问题，国内外学者已经就此开展了比较深入的研究，提出了许多有效的处理方法，如以最小二乘配置和谱组合法为代表的统计法，以联合平差和迭代法为代表的解析法。现阶段，构建海域重力数据模型通常需要联合处理海面船载、卫星测高和航空重力测量 3 种作业模式的观测数据。为此，团队提出了两种不同的解决途径:一种是直接对分布于不同基准面上的 3 种数据源进行融合处理;另一种是首先将航空重力观测数据向下延拓到海平面，然后在同一基面上完成3种数据源的融合处理。第一种途径属于多源异构数据处理，针对此情形，团队提出通过改进现有的配置法和点质量模型来提升多源异构数据的融合处理效能。为了提高传统配置模型和点质量模型的解算稳定性和计算精度，引入 Tikhonov 正则化方法对两种传统计算模型进行正则化改造，分别构建了相应的 Tikhonov正则化配置模型和正则化点质量模型，所提模型可有效抑制传统解算模型系数矩阵小奇异值放大观测噪声对解算结果的污染，进而取得稳定可靠的融合处理结果。
6.2
同构数据模型构建
同一基面的多源重力数据融合问题可视为同构数据模型构建问题，实际上就是网格化重力异常数字模型插值问题。依据海面船载、卫星测高和航空重力测量 3 种数据源的离散化分布特性和非等精度观测条件，团队分别提出了两种面向同构数据的模型构建方法:一种为顾及多源数据空间分布相关性和观测精度差异性的双权因子一步融合插值方法，其优点是计算过程简单实用，计算结果稳定可控;另一种为结合分步平差、拟合、推估和内插运算的多步融合处理方法，其基本思路是利用观测精度较高但分布相对稀疏的海面船载重力观测数据作为控制，通过平差、拟合和推估方法，将分布密度较高但观测精度相对较低的卫星测高和航空重力两种数据源校正到船载重力基准上来，以消除三者之间的系统性和趋势性偏差，从而达到提升网格化重力数值模型整体精度的目的。利用实测数据所作的数值计算试验结果表明，上述两种建模方法均可取得预期的计算效果，但相比较而言，多步处理法的建模机理更为合理，建模精度也更高。
7 地球外部重力场逼近技术
7.1
地球外部重力场逼近模型改进
重力数据模型在地球重力场逼近计算中具有广泛的应用，地球外部重力场逼近和大地水准面精化是其中的两个主要应用方向，前者在空间科学研究和航天工程建设领域具有重要的应用价值。为满足海上专题军事应用保障需求，团队一直致力于地球外部重力场精密计算方法及模型改化研究，早期研究主要聚焦于虚拟点质量模型优化及工程化应用。首先，依据地面观测重力统计相关特性和点质量模型结构特征，借鉴传统样条插值的局部基概念，提出了基于窗口移动控制的虚拟点质量建模改进方法;然后，为了保证超大范围点质量解算结果的连续性，提出了基于序贯平差的点质量模型参数迭代解法，由此构建了适合海域机动性要求的流动型点质量计 算模型。
与传统积分模型相比较，虚拟点质量模型的主要优势在于既可顾及地形效应的作用，又不受数值积分奇异性影响。但在数据预处理阶段，需要将地面重力异常转换为地球内部的等效点质量，等同于地面观测数据的向下延拓，其求逆过程也避免不了上文提及的不适定性问题。针对此情况，团队在深入分析现有计算模式技术特点基础上，提出了通过模型结构优化和多模型联合应用等手段，构建可兼备各模式优势的混合模型研究思路。考虑到海平面可近似为球面、海域计算可不顾及地形效应的影响，依据实用化保障需求，针对传统的全球积分模型，提出了基于插值替换的分段积分改进公式，避开了传统模型在超低空高度段受奇异积分的影响。直接积分模型的优势是不需要对重力基础数据作转换处理，可节省可观的数据准备时间，但全球积分模型无法顾及地形效应的影响，同时存在积分奇异干扰问题。不难看出，积分模型的不足正是点质量模型的优势，即两种模型之间是一种优势互补关系。据此，团队又提出了基于分频段赋值的直接积分和点质量混合模型，该混合模型综合了两种模型优势，既可有效克服传统积分模型固有的奇异性问题，又能大幅降低数据准备难度，提升赋值模型的计算精度和计算效率。
7.2
地球外部重力场逼近新模型
点质量模型可有效顾及地形效应的作用，更适合于陆域固定点位专题保障应用，这正是美军“民兵”系列导弹和中国陆基作战专题保障都推荐使用点质量模型的主要原因。相比于陆域固定点位，海域专题保障具有许多鲜明特点:（1）广阔海域不预设固定的计算点位，机动性和实时性保障要求更高;（2）保障范围更广，基础数据保障要求更高，计算量明显增大;（3）海域可近似为球面，不必顾及地形效应的影响，数值计算的复杂性和难度相对降低。根据以上保障需求特点，团队在对现有各类计算模型做进一步的深入分析和试验验证基础上，提出将海域外部空间重力场赋值模型由点质量模型改为表层积分模型。其主要理由是:表层法积分模型结构更为简单，不需要对基础数据作等效转换处理，不存在求逆过程带来的数值不稳定性问题。但在超低空计算高度段会出现积分奇异性问题，这是在海域应用表层法面临的重要挑战，也是同类积分模型面临的共同挑战。针对此问题，团队提出通过引入积分恒等式变换，将表层法原始积分模型转换为无奇异计算模型，并综合利用重力异常泰勒级数展开和非网格点内插方法，进一步优化完善无奇异积分模型的计算效能，较好满足了专题保障对全海域全高度段扰动引力场高精度快速赋值的实际需求。
如前所述，不需要对基础数据作预先转换处理是直接积分类模型的最大优势，也是此类模型一直被作为地球外部引力场主流计算工具的主要原因。相较于表层积分模型和向上延拓积分模型，Stokes 积分模型要求的输入信息种类最少，故在减轻基础数据保障压力方面具有一定的优势。而直接积分类原始计算模型均为全球积分模型，故在投入使用之前，必须依据基础数据保障条件，将此类全球积分模型改化为局域积分模型。但在按照传统方法实施 Stokes 积分模型改化过程中，团队发现扰动重力径向分量积分模型从地球外部逼近边界面时存在较严重的数值不连续性问题。通过分析该问题的内在原因，团队提出了保持该模型连续性的修正方法。在此基础上，针对 Stokes 积分三分量计算模型存在的积分奇异性问题和传统改化方法存在的理论缺陷，提出了综合采用移去恢复和积分恒等式转换技术，分步实施扰动重力三分量全球积分模型改化的技术流程和方法，推导了三分量积分模型的分步改化公式，提出了补偿传统改化模型缺陷的精密修正公式。至此，团队面向海域专题保障应用，先后构建了非奇异表层法模型和 Stokes 积分精密改化模型，两种模型已成为实施海域外部空间扰动引力场计算的主要技术手段。
8 大地水准面精化技术
8.1
大地水准面精化模型改进
除地球外部重力场逼近计算外，海空重力测量成果在地球科学研究中的另一个重要应用领域是大地水准面精化，主要涉及大地测量边值问题求解理论方法和局部重力场逼近数值计算两个方面的研究内容。自英国数学家 Stokes 于1849 年推出著名的 Stokes 定理以后，大地测量边值问题求解理论和方法研究取得一系列重要进展，先后诞生了 3 种著名的大地测量边值理论及相对应的问题解式，即大地水准面边值理论及Stokes 积分解式、地球自然表面边值理论及Molodensky 级数解式、虚拟球面边值理论及 Bjer⁃hammar 广义 Stokes 积分解式。数值积分一直是有效实施大地测量边值问题解算的主流方法，直至 20 世纪 80 年代，由于谱分析方法的出现和引入，这一局面才得以逐步改变。谱分析方法可有效突破大规模数值计算面临的技术障碍，因此被认为是那个时期局部重力场逼近计算最重要的研究进展之一。在这一研究领域，团队经过多年科研实践，也取得了一些有特色的研究成果。首先，依据传统二维快速傅里叶变换(fastFourier transform，FFT)算法的数学定义和适用条件，分析局部重力场逼近二维平面和二维球面FFT 模型算法的基本特征，指出当时国内外普遍认可的重力场计算二维球面 FFT 算式存在的主要缺陷;然后，通过理论推演推导出相对应的二维球面FFT算法严密改进公式。此外，团队还推导出地球重力场逼近计算的误差估计通式，纠正了国外学者对同一通式的推导错误。
早期人们普遍采用经典的 Stokes 积分解式实施大地水准面数值计算，后来逐步推广使用基于 Faye 异常的 Stokes 积分解式，即Molodensky级数零阶加一阶项解，近期有不少学者和研究机构推荐使用 Stokes-Helmert 方法和 Moritz 解析延拓解。围绕大地水准面精密计算涉及的模型优化及效能评估问题，团队先后分专题逐一对Stokes、Bjerhammar、等效点质量 、Molodensky、Stokes-Helmert 等 5 种边值理论方法的基本原理和计算模型进行了详细解析，分析上述 5 类计算模型的技术特征和适用条件，并针对每一类计算模型的结构特点，提出了 3 种具有普遍意义的实用化分阶段模型改化方法。同时从理论上分析数据截断和数据观测两类误差对大地水准面计算精度的影响，论证 1 cm 精度大地水准面计算对地(海)面重力观测数据的分辨率和精度指标要求。使用超高阶位模型 EGM2008 作为数值模拟标准场，逐一对 5 类大地水准面计算模型相对应的 3 种改化模型进行数值闭环计算和精度检核，设计不同量值的数据观测误差影响试验方案，并分别开展相对应的噪声影响评估检验，得出一些有理论参考意义和实用价值的结论。
8.2
大地水准面精化新模型
如前所述，Stokes 边值理论及其积分解式是确定大地水准面的理论基础和基本方法，但该方法的适用条件是重力观测必须位于大地水准面上，且观测面外部不能存在地形质量。显然，这样的条件在海域很容易得到满足，在陆域则很不现实。因此，国际上先后推出了不同的大地测量边值问题解决方案，包括直接在地球表面上求解边值问题的 Molodensky 方法，将地面重力观测转换或向下延拓为地球内部等效源的 Bjerhammar方法和 Moritz 方法等。还有一类方法可称为改良的 Stokes 方法，其主要原理是:首先，按照移去-补偿双向模式对大地水准面外部的地形质量进行调整处理，确保 Stokes 边值理论假设条件得到满足，然后，将经调整后的地面观测向下延拓到大地水准面，从而进入传统的 Stokes 理论框架进行问题解算。应用实践中比较有代表性的地形调整方案是均衡补偿和 Helmert 第二压缩补偿。实际上，只要确保地形移去-补偿及其间接影响计算准确，则各类不同的调整方案最终都能给出数值一致的 Stokes 积分解。因为采用不同的地形移去-补偿方法会带来不同形式和量值的直接和间接影响，但其总影响不会因地形调整方法的不同而改变，所以只要移去和补偿的地形质量是等量的，那么其直接和间接影响有相互抵消作用，地形调整对地面扰动位的总影响为零。这意味着，不管采用哪一种地形调整方法，都不会对地面及外部扰动位计算结果产生实质性影响。如果只是为了推求似大地水准面(即高程异常，对应中国采用的正常高系统)，那么完全没有必要投入很大的精力去做地形移去-补偿调整处理。因为不管采用改良的Stokes 方法，还是其他的现代理论和方法，解算地球自然表面边值问题都绕不开向下延拓这个关键环节，调整之前还是之后做延拓，都不会影响似大地水准面的解算结果，也就没有必要做复杂的地形调整计算，只需直接将地面重力观测向下延拓至完全嵌入到地球内部的某个球面即可。文献证明，在忽略扰动位二阶项影响和线性化条件下，Moloden⁃sky、Stokes 和 Stokes-Helmert 等 3 种 边值问题解是等价的，它们之间的联系可通过向下解析延拓算子加以演绎。文献还进一步指出，一旦完成大地测量边值问题的线性化处理，剩下的解算工作也就是向下延拓方法的具体运用。由此可见，向下延拓技术在大地测量边值问题解算中发挥着至关重要的作用。为此，团队近期把主要研究精力投入到基于泰勒级数展开的向下延拓建模和重力异常垂向梯度的精密计算方向。除了上文提及的重力异常高阶径向导数带限计算模型外，还针对垂向梯度传统积分模型改化方法存在的理论缺陷，提出联合采用积分恒等式转换和移去恢复技术，分步实施地球外部及地面重力异常垂向梯度全球积分模型改化，进而推出补偿传统改化模型缺陷的修正公式，最终得到两类参数全球积分模型的严密改化公式。通过数值计算试验和向下延拓应用对比分析，验证了严密改化模型的有效性和可靠性，为进一步提升大地测量边值问题解算精度也就是大地水准面计算精度奠定了必要的技术基础。
针对航空矢量重力测量数据应用转化实际需求，团队还开展了航空矢量重力确定大地水准面计算模型构建及改化技术研究。依据物理大地测量学的广义带限水平边值问题理论，分别提出了基于带限航空矢量重力水平分量确定大地水准面的两步积分法和一步积分法计算模型，较好地解决了向下延拓模型解算的不稳定性问题。通过数值计算试验，验证了带限计算模型在提高数值解算稳定性和抑制高频干扰噪声两个方面的特殊作用和优势，为拓展航空矢量重力测量数据的工程化应用奠定了必要的技术基础。
9 结语
本文全面介绍了海军重力研究团队在海空重力测量及应用技术领域多年积累的研究成果，这些成果基本反映了中国在该领域的最新发展动态和水平。最近一个时期，在各个方面的应用需求驱动下，中国海空重力测量装备技术得到快速发展，与当前国际先进水平的差距明显缩小，多型国产化海空重力测量仪器的关键技术指标已接近同类进口设备水平。但与国外商品化重力测量装备相比，国产化仪器仍存在投入应用时间较短、应用实践较少等不足，其稳定性和可靠性还有待进一步评估。此外，尽管经过最近二三十年的发展和积累，无论是观测仪器还是测量数据处理及集成应用，中国的海空重力测量技术在各个方面都取得了长足的进步，但与发达国家相比，其整体水平仍有一定的差距，如体系建设顶层设计不够完善，专题保障需求分析论证不够充分，测量装备性能评估不够全面，动态环境效应建模不够精细，数据综合应用不够深入等一系列技术难题，仍需要通过进一步的研究探索加以解决。
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