以下文章来源于经纬石旁话遥测 ，作者边少锋等
本文改编自学术论文《北斗三号卫星观测信息高度角相关随机模型统计特性分析》
已刊载于《武汉大学学报·信息科学版》2022年第10期
边少锋1 刘一1 纪兵1 周威1
1. 海军工程大学电气工程学院，湖北 武汉，430030
边少锋
博士，教授，主要研究方向为卫星精密定位与导航。sfbian@sina.com
摘 要
观测信息随机模型在参数估计、质量控制和精度评定过程中具有重要作用，准确的观测信息随机模型是北斗精密定位的基础。首先，利用简化的 Helmert方差估计方法估计北斗三号卫星观测信息精度，并拟合模型系数；然后，利用全局检验和 ω 检验对基于分段函数、正弦函数、余弦函数和指数函数的随机模型进行统计检验，分析随机模型统计特性；最后，利用精密单点定位（precise point positioning，PPP）检验各随机模型对定位性能的影响。实验结果表明，北斗三号卫星的伪距和载波相位观测值精度均与高度角相关，且观测类型不同，相关程度不同；基于指数函数的随机模型在拟合误差、全局检验和 ω 检验中均表现出最优的性能，全局检验浮点解和固定解的误警率仅为 5.1% 和 4.9%，ω 检验伪距和载波相位最大误警率分别为 5.8% 和 6.8%，PPP收敛时间最短，定位精度最高。基于指数函数的随机模型能够准确描述北斗观测信息精度，提高北斗三号卫星精密定位结果的精度和可靠性。
引 用
边少锋, 刘一, 纪兵, 周威. 北斗三号卫星观测信息高度角相关随机模型统计特性分析[J]. 武汉大学学报 ( 信息科学版), 2022, 47(10): 1615-1624. doi: 10.13203/j.whugis20220021
观测信息随机模型描述了观测信息的精度及其相关关系，通常以方差-协方差矩阵的形式出现，在全球导航卫星系统（global navigation satellite system，GNSS）精密数据处理的参数估计、质量控制和精度评定等方面均有着重要的作用。在精密定位过程中，准确的随机模型将对定位精度和可靠性的提升起到积极作用，因此，构造准确的观测信息随机模型是精密定位的基础。中国独立建设、自主运营的北斗卫星导航系统（BeiDou navigation satellite system，BDS）已经建成，向全球用户提供定位、导航和授时服务（positioning，navigation，and timing，PNT），以 BDS精密数据处理技术为核心的无人驾驶、移动物联网和智慧城市等高新技术应用得到广泛发展，日益增长的时空信息服务需求也对 BDS 的定位精度和可靠性提出了更高的要求，研究适用于BDS的观测信息随机模型，提高精密定位精度和可靠性，对于提升BDS应用水平具有重要的意义。
当前，国内外许多学者针对 GNSS 观测信息随机模型进行了广泛而深入的研究，提出了基于信噪比和高度角的随机模型，其中基于高度角的随机模型应用较为广泛，主要有基于分段函数、正弦函数、余弦函数和指数函数的随机模型，模型参数根据经验或者拟合给出。针对观测值随机特性，文献［15］系统阐述了观测值随
机模型在质量控制中的作用，评价了全球定位系统（global positioning system，GPS）观测信息的随机特性，给出了随机模型精化方法，提出了一种改进的 SIGMA-Δ 随机模型，提高了 GPS 单历元相对定位的精度和可靠性。针对随机模型统计特性；文献［16］利用双频 GPS 数据分析了基于常数、正弦函数和指数函数的随机模型对于统计检验的影响，指出 GPS 观测数据精度与高度角相关，且观测类型不同，相关程度不同；文献［17］在分析 BDS 混合星座观测值特性的基础上，提出混合星座随机模型，对地球静止轨道卫星采用基于信噪比的随机模型，对于倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星采用基于高度角的随机模型，有效提高了 BDS 相对定位的模糊度固定率和定位精度；文献［18］利用中国境内测站观测的多星座数据解算 BDS 和 GPS 系统静态观测数据，对比分析 BDS 和 GPS 基线解算精度。
当前 GNSS 观测信息随机模型的研究主要针对 GPS 观测值，而 BDS 观测信息随机模型的研究主要集中在北斗二号卫星，关于北斗三号卫星（BDS-3）观测信息随机模型的研究还相对较少，因此本文从 BDS-3 观测信息随机模型的统计特性出发，分析 4 种经典的基于高度角的随机模型对统计检验的影响，给出 BDS-3 适用的随机模型，从而提高 BDS 的定位精度和可靠性。
1 参数估计与统计检验
高斯-马尔科夫模型公式为：
式 中 ，E{·}表 示 数 学 期 望 ；D{·}表 示 方 差 ；y 为m × 1 维观测值向量，m 为观测值个数；x 为 n × 1维未知参数向量，n 为未知参数个数；A 为 m × n维设计矩阵，反映观测值与未知参数之间的几何关系或物理关系，是函数模型的具体体现；Qy 是观测值的方差-协方差矩阵，反映了观测值的随机特性，是随机模型的具体体现。
由最小二乘法得到未知参数估值 x̂为：
观测值残差估值 ê为：
式中，ŷ= Ax̂为观测量 y 的估值；I 为单位矩阵；
称为投影算子。
x̂和 ê的方差-协方差矩阵分别为：
当观测量无异常观测时，最小二乘解具有最优无偏性。全局检验通过检验单位权方差估值和理论值之间的差异来评价模型整体的准确度，全局检验统计量 Tm - n的计算式为：
在不存在异常观测时，Tm - n服从自由度为m - n 的 Fisher 分布，即 Tm - n~F ( m - n，∞ )，给定 置 信 水 平 α，如 果 Tm - n < F1 - α ( m - n，∞ )，则认为观测值中不含粗差，接受原假设，否则拒绝原假设。当单位权方差估值和理论值接近时，Tm - n 的数学期望等于 1。
在全局检验检测到观测值中包含粗差观测时，为了准确定位粗差位置，利用 ω 检验进行粗差定位，用于评价模型描述观测值观测误差的准确度，ω 检验统计量 ωi为：
式中，ci 为 m × 1 维向量，第 i 行元素为 1，其余元素 均为0。ωi服 从 零 均 值 正 态 分 布 ，即ωi~N ( 0，1 )，给定置信水平 α，确定置信区间，如 果 |ωi| < N( 1 - α ) /2，则认为该观测值不是粗差，否则认为是粗差。
由上述推导过程可知，对于参数估值精度而言，理论上任意的 Qy 均可得到统计意义上无偏的未知参数估值，但对于单次的观测，随机模型分配观测值权值，对估值的准确性具有重要的影响；对于精度评定而言，Qy 作用于未知参数方差-协方差矩阵，对精度评定指标产生影响；对于质量控制而言，Qy 的准确度作用于全局检验和 ω 检验的统计量，对定位结果可靠性产生影响。设 β = Qŷ Qy，则随机模型对估值精度、估值方差-协方差、全局检验和 ω 检验统计量估值与理论值的关系为：
2 单历元单差观测模型
利用单差相对定位模型估计观测值精度，可以保留观测精度和高度角的关系。当基线距离较小时，测站间的大气相关性较强，站间差分可以消除大气延迟误差以及卫星相关误差，假设两台接收机可同时观测 m 颗卫星，则观测方程为：
式中，k 和 j 分别表示历元和频率；ϕk，j 和 Pk，j 为单差相位和伪距观测值；ρk 为站间卫地距之差；δtϕk，j和 δtPk，j 为单差相位和伪距接收机钟差；em 为 m 维向量，元素均为 1；λ 为波长；a 为单差模糊度，aj = [a1j a2j⋯amj] T；εϕk，j 和 εPk，j 为观测值噪声。
由于式（8）和式（9）构成的设计矩阵秩亏，为消除秩亏，并恢复模糊度参数的整数特性，需要对上述观测方程重新参数化。选取高度角最高的 1 号卫星作为基准星，将其模糊度参数与钟差参数合并，重新参数化后的观测方程为：
式中，δtˉϕk,j为重新参数化后的接收机钟差，包含接收机钟差误差和参考卫星模糊度参数，δtˉϕk,j = δtϕk,j - λja1j；aˉj为重新参数化后的模糊度向量 ,aˉj=[0,zˉTj] T。
若短基线或零基线ρk为已知值，估计浮点模糊度并固定模糊度，则式（8）、式（9）可改写为：
式中,
3 简化的 Helmert 方差分量估计
本文利用简化的 Helmert 方差分量估计方法估计观测信息精度。短时间内卫星高度角变化较小，认为在一定时间内观测值方差相同，因此本文采用 n 历元估计一个方差的方法，取 n = 10。n 历元观测方程为：
式中，⊗ 为克罗内克积；In 为 n 维单位矩阵；ϕˉj = [( ϕˉ1j )T ( ϕˉ2j )T⋯( ϕˉmj )T ]为 n 历元 m 颗卫星的单差观测值，ϕˉij =[ ϕˉi1,j ϕˉi2,j⋯ϕˉin,j] T为第 i 颗卫星 n 历元的
单差观测值；δtˉj =[ δtˉi1,j δtˉi2,j⋯δˉt in,j] T 为 n 历元接收机钟差；εϕˉj =[( εˉ1j )T ( εˉ2j )T⋯，( εˉmj )T ] 为 n 历元 m 颗卫星的单差观测噪声，εˉij =[ εˉi1,j εˉi2,j⋯εˉin,j] T为 第 i颗卫星 n 历元的单差观测噪声。
假设卫星在 n 历元下方差不变，则其方差-协方差矩阵为：
式中，Qϕj 为 n 历元 j 频点 m 颗卫星的非差观测值方差，Qϕj = diag [(σ1ϕj)2 (σ2ϕj)2⋯(σmϕj)2]，计算式为：
式中，ε̂ϕˉik,j为单差观测噪声；rij=(m-1) /m。该观测值精度对应的高度角为n历元平均高度角。
4 数据分析
在目前主流的GNSS数据处理软件中，PANDA 采用分段的正弦函数构建随机模型（模 型 A），GAMIT 采 用 正 弦 函 数 模 型（模 型B），Bernese 采用余弦函数模型（模型 C），文 献［16］提出指数函数随机模型（模型 D）。上述 4种模型的精度计算式分别为：
式中，σA、σB、σC、σD 分别为 4 种模型的观测值中误差；a、b、c均为模型系数；E 为高度角。
本文采用 3 组基线的观测数据进行实验，每组基线的两台接收机为同品牌接收机，基线详细信息见表1。数据采集时间为2021年年积日（day of year，DOY）第 340~341天，采样间隔 30 s，数据处理采用BDS-3 B1I、B3I、B1C 和 B2a 4 个频点观测数据，截止高度角为 10°。
表1 基线详细信息
4.1
观测值精度与模型拟合误差
利用 2021 年 DOY 340 观测数据，估计相位和伪距观测精度，并求解模型系数，相位和伪距观测精度以及 4 种模型的拟合曲线（限于篇幅，这里只展示 MG04-MG05 基线）如图 1、图 2 所示，拟合误差见表 2。
由图 1、图 2 可知 ，BDS-3 的 B1I、B3I、B1C 和B2a 4 个频点的相位和伪距观测值中误差均与高度角相关，但相关程度与频点和观测类型有关。BDS-3 不同频点间相位观测值中误差与高度角的相关性差异较小，伪距观测值则差异较大，B1I 和 B1C 频点的观测值中误差与高度角相关性较大 ，而 B3I 和 B2a 频点的相关性有所下降。B3I、B1C、B2a 频点的相位观测值中误差在高度角大于 30°时趋于稳定，B1I 频点的相位观测值中误差则随高度角升高而减小，且减小速度逐渐放缓；4个频点的伪距观测值中误差均随着高度角升高而减小，且在高度角大于 30°时减小速度逐渐放缓。
图1 相位观测值精度与 4 种随机模型建模
图2 伪距观测值精度与 4 种随机模型建模
4 种模型在不同的高度角范围，描述观测信息精度的能力不同
1）对于模型 A，当高度角小于 30°时，模型精度较为乐观，模型精度高于实测精度；当高度角大于30°时，模型精度稍显保守，实测精度大于模型精度，且随着高度角增大，模型与实测精度差异变大。
2）对于模型 B，对相位观测精度均能够较准确地刻画，对伪距观测值的 B3I、B1C 和 B2a 频点精度能够准确描述，但对 B1I 频点在低高度角时表现较 差。当高度角在20°~30°时 ，模 型 对B3I、B1C 和 B2a 载波相位观测精度处理略显保守，实测精度大于模型精度，在其余高度角区段，模型精度较为准确。
3）对于模型 C，当高度角大于 60°时，对相位和伪距观测精度均能较准确地处理，但在其余高度角区段精度表现较差。以高度角 20°为界，大高度角部分较保守，低高度角部分则较乐观。
4）对于模型 D，模型受 3 个参数调节，表现较为灵活，在可观测范围内，对 BDS-3 各频点观测信息精度均能够准确地处理。
综上所述，BDS-3 观测信息精度均与高度角相关，不同频点相同观测值相关程度不同，相同频点不同观测类型相关程度不同。基于指数函数的模型 D 对各类观测信息的拟合误差最小， B3I 相位观测值拟合误差最大，为 5.484 mm；B1C伪距观测值拟合误差最大，为 0.048 m，表现出较好的观测信息精度描述性能。
4.2
全局检验
基于§4.1 拟合的模型参数建立随机模型，利用 2021年 DOY 341 的观测数据进行统计检验测试，线性化的观测方程为：
式中，yk 和 εyk 分别为观测量和观测噪声，包括相位和伪距观测量以及观测噪声；bk 为实数参数向量，包括位置参数和接收机钟差参数；Bk 为其设计矩阵；aˉ 为整数参数向量，即模糊度参数；A 为其设计矩阵。
利用最小二乘法估计未知参数，得到未知参数浮点解[ aˉ̂，b̂k ]T，其中 aˉ̂和 b̂k 分别为整数参数和实数参数浮点解，方差-协方差矩阵为：
利用最小二乘模糊度降低相关平差法（least squares ambiguity decorrelation adjustment，LAMBDA）进行模糊度固定，得到整数模糊度 aˉ̆，求得实数参数 bk 的固定解及其方差-协方差分别为：
表2 4 种随机模型的拟合误差
计算可得浮点解和固定解残差 ε̂yk 和 ε̆yk 用于统计检验。假设当前历元可观测卫星为 m 颗，频率数 nf = 4，则浮点解和固定解全局检验统计量T 分别为：
计算浮点解和固定解的全局检验统计量T，并给出置信水平 95% 情况下的临界值，检验结果分别如图 3、图 4 所示。由于已知观测值中不含粗差观测量，理论上T均小于临界值，大于临界值为误警，4钟模型的T均值和误警率见表 3。
图3 4 种随机模型的浮点解全局检验
图4 4 种随机模型的固定解全局检验
由 图 3、图 4 可 以 看 出 ，全 局 检 验 浮 点 解 误警率由低到高分别为模型 D、模型 B、模型 C、模型 A，固定解误警率由低到高分别为模型 D、模型 B、模型 A、模型 C。模型 D 整体表现最优，浮点解和固定解误警率均小于 4%；模型 A 和模型C 整体表现均较差，浮点解和固定解误警率均超过 10%；模型 C 的各观测值模型拟合误差均大于模型 A，但在浮点解全局检验中，误警率却小于 模 型 A，这是由于模型A在处理高度角大于30°的 BDS 观测精度时，实测精度较模型精度高，β > 1，计算的统计量大于真实的 T 值，因此表现出较高的误警率。以 MG04-MG05 基线为例，由表 3 可知，模型 D 的浮点解和固定解 T 均值均接近 1，差异分别为 0.01 和 0.03；模型 A 浮点解 T 均值与 1 差异最大，达 0.13；模型 C 固定解 T 均值与 1 差异最大，达 0.13。
综上，基于指数函数的随机模型浮点解和固定解全局检验表现最优，与模型拟合误差性能基本一致，在质量控制过程中，较小的误警率可降低计算消耗，准确的随机模型能有效降低误警率，实现快速精密定位。
表3 4 种随机模型的全局检验均值和误警率
4.3
ω 检验
基于§4.2 中的固定解观测残差，利用 ω 检验方法，进一步研究随机模型对卫星观测量的影响，ω 检验值的计算式为：
图 5、图 6 分别为 BDS-3 观测信息在 4 种随机模型下载波和伪距观测值的ω检验散点图。已知观测值中无异常观测，计算置信水平为 0.95时的临界值，统计各频点观测值超出临界值的数量，计算误警率，结果见表 4。
图5 4 种随机模型下载波相位观测值 ω 检验
图6 4 种随机模型下伪距观测值 ω 检验
表4 4 种随机模型的 ω 检验误警率
由图 5、图 6 可以看出，模型 A 在高度角大于30°时，相位和伪距均表现出 ω 检验统计量较小的现象，且随着高度角增大，统计量逐渐减小，这是由于在对应高度角部分，实测精度比模型给定精度高，β > 1，ω 检验统计量被缩小；模型 B 在高度角小于 30°时，B2a 载波相位观测值 ω 检验统计量被放大，这与§4.1 中模型低高度角拟合精度表现一致；模型 C 在高度角小于 30°时，相位和伪距的统计量均被放大，而在高度角大于 30°、小于 60°时则有所缩小，在大于 60°时，检验量分布趋于平稳；模型 D 整体表现最优，只在高度角大于 70°时，相位观测值 ω 检验统计量较小，精度处理稍显保守。由表 4 中各观测值误警率可知，模型 D 整体表现最优，相位和伪距观测值误警率最高的均为 B2a频点。
综上，基于指数函数的随机模型在 ω 检验中表现最优，各类观测信息误警率均为最低，在质量控制过程中可较准确地定位粗差位置，提高定位可靠性。
4.4
PPP 定位性能检验
利用 BDS-3 四频非组合 PPP 定位模型对 4种随机模型进行静态定位性能检验，取三维定位偏差均收敛至10cm内的时间为收敛时间，收敛后定位误差均值为定位精度，结果见图7和表 5。
图7 4 种随机模型 PPP 收敛时间
表5 4 种随机模型 PPP 定位精度
由图7和表4可知，随机模型对PPP的收敛时间影响较大，收敛时间由大到小依次为模型C、模型 A、模型B、模型D，相同站点不同随机模型会导致收敛时间差异最大可达110min；随机模型对定位结果有一定的影响，定位偏差由大到小依次为模型C、模型B、模型A、模型D。
5 结语
本文利用 BDS-3 四频观测数据，对 BDS 观测值随机模型进行统计特性分析。首先，基于单历元单差定位模型估计观测值精度，分析了观测值精度和高度角的关系，并进行高度角随机模型建模，评估了 4 种经典随机模型描述 BDS-3 观测信息精度的性能；然后，利用相同站点不同时间的观测数据进行全局检验和 ω 检验，评价随机模型的统计特性；最后，利用四频非组合 PPP 对各模型的收敛时间和定位精度进行检验。本文主要结论如下：
1）BDS-3 各类观测信息精度均与高度角相关，不同频点相同观测值相关程度不同，相同频点不同观测类型相关程度不同，在精密数据处理时，应对不同频点、不同观测信息进行随机模型建模。
2）在利用高度角相关的随机模型时，建议使用指数函数模型。基于指数函数的高度角观测信息随机模型在模型拟合误差、全局检验、ω 检验以及 PPP 定位测试中均表现出最优的精度处理性能。
3）不同的随机模型对 PPP 收敛时间和定位精度影响较大，当观测信息随机模型对观测精度处理较乐观时，导致检验量偏大，造成较高的误警率；而对观测精度处理较保守时，则致检验量偏小，导致较高的漏检率，准确的随机模型能够提高滤波器的估值精度，提升质量控制的准确度，因此，能够有效缩短 PPP 收敛时间，提高定位精度。
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