边界层流的稳定性问题

边界层理论在物理以及工程中有着广泛应用，其数学理论也是偏微分方程的核心研究方向之一，目前仍然有许多重要的问题尚未解决。当前在数学上比较活跃的研究课题有：边界层方程（如：Prandtl方程）的适定性、边界层分离、Prandtl边界层展开的有效性、边界层流的稳定性等。

层流的稳定性是流动稳定性中的经典问题，有非常悠久的研究历史, 可以追溯到Reynolds在1883年的圆管水流实验。层流的线性稳定性分析可以归结为求解著名的Orr-Sommerfeld（O-S）方程。这是一个奇异摄动问题，理论求解难度非常大，著名应用数学家林家翘在利用渐近分析方法求解O-S方程上作出了突破性贡献[6]。我们在《中国科学：数学》的文章[1, 2]主要研究二维平板边界层流的稳定性问题。在1929年，Tollmien首先预测了平板边界层流的不稳定性，之后Schlichting开展了系统的计算，给出了平行流的中性稳定曲线。但直至2015年, Grenier等人的重要工作[5]才在中性曲线内部数学上严格地构造出了不稳定的Tollmien-Schlichting (T-S)波，在该篇论文中他们引入了理论求解O-S方程的Rayleigh-Airy迭代技术。Gerard-Varet等人的工作[3, 4]利用Rayleigh-Airy迭代技术分别证明了非稳态Navier-Stokes（N-S）方程当初始扰动在Gevrey-3/2类中边界层流的非线性稳定性以及稳态N-S方程在流向小周期情形关于Sobolev外力扰动下的非线性稳定性。

我们的文章[1]中发展了求解边界层流O-S方程的预解估计方法，避开了复杂的Rayleigh-Airy迭代技术，还给出了边界层流在L∞意义下的稳定性估计。文章[2]将Gerard-Varet等人[3]中流向小周期性的关键假设替换成更为自然的谱假设“0不是线性化算子的嵌入点谱”。文章[2]不仅进一步发展了[1]中的预解估计方法，为去掉小周期性假设，还引入了估计O-S方程解的紧性方法。文章[1, 2]发展的预解估计和紧性方法具有普适性，可用于流动稳定性理论中其它相关问题的研究。

Grenier等人的工作[5]在中性曲线内部构造出了T-S波，但在中性曲线附近T-S波的构造、线性失稳机制的数学刻画等方面的数学问题仍然是公开的。目前我们通过结合三层结构理论，发展了更为精细的O-S方程理论求解方法，在中性曲线附近构造T-S波方面取得了重要的进展。基于对线性失稳机制深入的数学研究，我们期望在重大基础科学问题“边界层转捩”上做出有意义的数学理论研究。

转自：“中国科学杂志社”微信公众号

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