普罗米修斯将火带到人间，从此人类无需在黑暗中度过无穷长夜，进入光明与文明的新纪元。而声学之父克拉尼（Ernst Chladni）的声音图形也如同一枚火种，微光成炬、烈焰燎原，带给现代物理学、生理医学、哲学、建筑声学、音乐理论、乐器制造、数学、音流学等诸多领域新的研究视角和方法论的启发。本期小编将为您介绍克拉尼图形（Chladni figure）在数学领域引发的共振。
1. 隐形世界的镜子
克拉尼声音实验的基本原理来源，是德国物理学家利希腾贝格（Georg Christoph Lichtenberg）的静电图实验（Lichtenberg figures 俗称：“闪电花”）：通过电击硫磺粉，使绝缘板上的粉末形成树状“电击雕刻的花纹”。
克拉尼受此启发，在光滑的铜板上均匀地洒满细沙，于铜板的边缘缓缓拉动小提琴弓，奇特的一幕发生了，沙子在几秒钟内形成了聚散的线条花纹——克拉尼图形就此诞生，这一刻映照出了隐形的声音世界。
上：利希腾贝格静电图，下：克拉尼图形与实验图。 来源：wikipedia
1787年，克拉尼完成了第一部声学著作《关于声音理论的发现（Entdeckungen über die Theorie des Klanges）》，并在其中记录了这项实验的成果，和他绘制的大量曼妙的声音图形。
《Entdeckungen u¨die Theorie des Klanges》封面，1787年，来源：wikipedia
部分克拉尼图形，来源：《Entdeckungen über die Theorie des Klanges》
当小提琴弓摩擦铜板使其发生弯曲形变直至共振时，板面中有保持静止状态的区域和振动状态的区域，沙子在振动作用下向表面静止的区域集中，并最终勾勒出变化多样的节点线。由于弹性板振动的理论在当时尚未出现，所以对声音图形的数学描述必须保持定性。带着这个问题，克拉尼踏上了欧洲巡讲的旅程，分享自己的声学研究并和欧洲各国的学者进行交流学习。
2. 抛砖引玉，开启数学探索之路
直到1802年，克拉尼又一突破性著作《声学（Die Akustik）》问世，这本书的出现使声学成为一门独立的学科，书中包含了对乐器的制作、声音的产生、传播与接收理论等全新的声学领域研究，汇编和评论了他在欧洲巡讲中发现的大量声学相关的研究成果。
《Die Akustik》封面，1802年，来源：wikipedia
书中克拉尼对于声音图形的数学研究有了进一步的发现，他根据平行于两侧的节点线的数量对于矩形板上的图案进行分类。对于圆形板，他观察到增加节点线与增加板面的直径，都可以提高圆形板振动模式的频率，即出现克拉尼图形的圆形板表面的振动模式的频率f与图形的直径n和径向节点线的数量m之间的关系：
对于平整的圆形板，p大约是2，但这个公式也可以用来描述铙钹、手铃和教堂钟的振动模式，在这类情况下，p可以从1.4到2.4不等，其中C和p是取决于板材性质的系数。英国物理学家瑞利（Third Baron Rayleigh）在1894年将这个公式命名为克拉尼定律（Chladni's law）。
但是《声学（Die Akustik）》一书中仍没有涉及到如何用公式推导出这些声音图形，在书的结尾克拉尼留下了这一悬而未决的数学问题：如何建立这些声音图形的数学模型？
1809年，克拉尼做声学巡讲到达法国巴黎时，极其重视科学的拿破仑独具慧眼，决定为此项数学研究颁发了3000法郎的：“法国皇家科学院奖金”，奖励给“得出克拉尼声音图形中弹性物质表面振动的数学理论，并将该理论与实验数据进行比较”的学者。
1816年，法国数学家索菲·热尔曼（Sophie Germain）以一篇题为《弹性物质表面理论研究（Recherches sur la théorie des surfaces élastiques）》的论文，并因此成为第一位获得法国皇家科学院奖的女性。
《表面弹性理论研究》封面，1821年，来源：wikipedia
热尔曼自1809年着手该论题的研究，于1811年秋天首次提交了论文，但没有通过，评审委员会认为 "振动的真正方程没有建立起来"，尽管 “提出了巧妙的结果”。
法国皇家科学院院士、著名数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在这时提出，解决这个问题需要发明一个新的数学分析分支，这使所有的参赛者望而却步，最终只剩热尔曼一人参赛。随后比赛被延长了两年，热尔曼决定再次尝试，在1813年化名“勒布朗先生”并提交了第二次论文，但由于被指出论文中仍充斥着错误，尤其是涉及到二重积分的部分，遂未通过评审。紧接着热尔曼又开始了第三次尝试，最终于1816年1月8日，以自己作为女性的本名“索菲·热尔曼”提交了第三篇论文，获得了特别奖。
索菲·热尔曼最终的方程，来源：《表面弹性理论研究》
事实上严格的法国皇家科学院对最终的研究成果仍不满意。因为虽然热尔曼推导出了正确的微分方程，但并不能非常准确地预测实验结果，由于她用于推导方程的假设部分不正确，导致了边界条件出现错误。
索菲·热尔曼自幼被剥夺了受教育的权利，但也正是她不屈不挠的强大毅力和对数学的极度热爱与与执着追求，给法国皇家科学院奖增添了熠熠光彩。
3. 科学探索是无尽的前沿
数学研究成果至此还没有达到尽善尽美，这场“接力”仍在继续。英国科学家惠斯通爵士（Charles Wheatstone）在1833年继续尝试使用正弦和余弦函数近似计算克拉尼图形。他表示，在方形和矩形板面上，无论多么复杂的克拉尼图形，都是两组或多组同步平行振动的结果；并且通过简单的几何关系，使用了“运动叠加”的原理，无需任何深刻的数学分析，成功地预测了特定振动模式应产生的曲线。
德国物理学家基尔霍夫（G. Kirchhoff ）在1850年提出了正确的数学模型，将方形板上的克拉尼图形视为双谐波算子的特征对（特征值和相应的特征方程）。他还设法解决了圆形板的特殊情况下的克拉尼图形，由于圆是轴对称图形，这个问题更容易处理，然而对于其他形状的板面，最难解决的就是其带有自由边界条件的偏微分方程的特征值问题。
瑞士物理学家沃尔特·里茨（Walter Bits）在1909年所著的开创性论文中提出了一种计算克拉尼图形的方法：不直接解决偏微分方程的特征值问题（也没有通过问题的边界条件），而是使用能量最小化原则（Prinzip der kleinsten Wirkung）得出计算方程。
里茨的克拉尼图形数学解法示例，1909年，来源：Theorie der Tra~nsversalschwinnyungem eiizer quadratischen Platte mit freien Randern
在量子力学中，克拉尼图形和其中的“节点形态”直至今日仍是科学界讨论的焦点——因为驻波方程、亥姆霍兹方程和定态薛定谔方程之间存在着等价关系，即粒子在有反射壁的空间中自由运动，这使得人们能够观察这种量子台球（quantum billiards）。
奥地利-爱尔兰物理学家薛定谔（Erwin Schrödinger）曾用克拉尼图形的数学解法来得出对电子轨道的理解。而在不规则形成的反射壁中，通过振动板对量子混沌进行观察，“节点形态”在不同的领域里也是重要的核心：在光场、地震破坏模式、甚至在视觉皮层的模式形成中皆是如此——第368次Wilhelm und Else Heraeus-Stiftung会议正是探讨这些问题。
鉴于这一发展态势，拿破仑的预言 “如果在克拉尼声音图形引申道路的探索方面能取得进一步的发展，将这些成果应用于其他领域也是大有用处的”，再回首，我们依旧折服于拿破仑的远见卓识。
在这面映照出隐形世界的镜子里，展现的不仅是奇幻稠迭的声音画像，还有曼妙又秩序严谨的数学图景，我们几乎看不到几百年的时光已悄然流逝。
来源：as科学艺术研究中心
转自：“中科院物理所”微信公众号
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