【前沿科普】关于分形学理论及其在地学领域的应用--分形布朗运动

以下文章来源于GISerQ ，作者GISerQ

之前对分形理论中的单分形和多重分形进行了简要的介绍，今天接着介绍一下分形理论中的分形布朗运动。

什么是分形布朗运动？

分形布朗运动（Fractal Brownian Motion，FBM）是一种随机过程，结合了布朗运动和分形几何的特性，是一种用于模拟自然和经济现象的数学模型。分形布朗运动由曼德尔布劳特（Benoit Mandelbrot）在20世纪70年代提出，并被广泛应用于各个领域，如金融市场、地质学、天气模拟等。在分形布朗运动中，每个时间步长的步长大小是一个随机变量，通常服从正态分布。其关键特征之一是具有自相似性，即它在不同的尺度下展示出相似的结构。无论是在较小的时间尺度还是较大的时间尺度下观察，都可以看到相似的随机波动。

分形布朗运动的特性使其能够模拟一些现实中的非线性和不规则行为。例如，它可以被用来描述地质中的地层分布、云层的形态以及自然风景的形状等。通过调整其参数，可以控制分形布朗运动的幅度、持续时间和形状，使其适应多种现实场景。总之，分形布朗运动是一种随机过程，具有自相似性和分形几何特性，它能够模拟现实世界中复杂、非线性的行为，并在多个领域得到广泛应用。

分形布朗运动特征如何计算？

分形布朗运动理论是由 Mandelbrot提出的描述自然界中随机分形的一种数学模型。分形布朗运动的特点是具有统计自相似性即自仿射性。

在应用FBM模型计算分形数据对象的分形维 数时，关键是估计模型的非规则维参数即H参 数。H参数估计是否准确关系到FBM模 型 对 应 用 对 象 的适用性。采用绝对矩估计法：

两边取对数得到：

实际上 等 于：ｙ＝Ｈ·ｘ＋Ｃ。再 由 分 形 维 数 FD和Hurst指数H的关系得：

DE为分形体的欧氏拓扑维数。

分形布朗运动在地学领域的应用？

在地学领域中，分形布朗运动通常用于以下几个方面：

1. 地质模拟

分形布朗运动可以用于地质模拟，如地层模拟和地震模拟。它能够生成具有自相似性的地质结构，例如矿床分布、沉积物堆积和岩石断层。通过调整分形布朗运动的参数，可以模拟不同尺度下的地质过程。

2. 地球物理建模

在地球物理学中，分形布朗运动被用于模拟地球内部的电磁场、地热场和地震活动。它能够模拟地球的非均匀性和复杂性，帮助解释地球内部的物理现象和现实观测数据。

3. 地貌演化

分形布朗运动在地貌学中也有广泛应用。它可以模拟山脉的起伏、河流的路径、岸线的形态等自然地貌现象。通过调整分形布朗运动的参数，可以生成具有不同形态和尺度的地貌模型，有助于理解地表演化的原理。

4. 地球表面模式

分形布朗运动被用于生成地球表面的模型，如生成随机地图、模拟土地利用分布和植被分布等。它可以模拟地表上的复杂性和非线性行为，有助于研究地球表面的空间分布和空间关联性。

参考文献：

1. Mandelbrot B B. How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension [J]. Science, 1967, 156 (3775) : 636-638.

2. 陈兵,彭芳,李鹏等.基于DEM的流域地貌特征分形量化研究[J].水土保持研究,2019,26(04):31-35.

3. 崔灵周,李占斌,肖学年.岔巴沟流域地貌形态分形特征量化研究[J].水土保持学报,2004(02):41-44.

转自：“生态遥感前沿”微信公众号

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